Einfach Modeller mat komplexe Verhalen dh Chaos

De Computer ass en Tool dat ëmmer méi vu Wëssenschaftler benotzt gëtt fir Geheimnisser ze entdecken déi suergfälteg vun der Natur verstoppt sinn. Modelléierung, zesumme mam Experiment an Theorie, gëtt den drëtte Wee fir d'Welt ze studéieren.

Virun dräi Joer, op der Universitéit vu Schlesien, hu mir e Programm lancéiert fir Computermethoden an d'Ausbildung z'integréieren. Als Resultat si vill extrem spannend didaktescht Material geschaf ginn, wat et méi einfach a méi déif mécht vill Themen ze studéieren. Python gouf als Haaptinstrument gewielt, wat, zesumme mat der Kraaft vu verfügbare wëssenschaftleche Bibliothéiken, wahrscheinlech déi bescht Léisung ass fir "Computerexperimenter" mat Equatiounen, Biller oder Daten. Eng vun den interessantsten Implementatiounen vun enger kompletter Workbench ass Sage [2]. Et ass eng oppe Integratioun vum Computeralgebra System mat der Python Sprooch, an erlaabt Iech och direkt mat engem Webbrowser ze spillen an eng vun de méiglechen Zougangsoptiounen duerch e Cloud Service [3] oder en eenzegen Rechenserver op deem den interaktiven Versioun vun dësem Artikel baséiert op [4].

Chaos an ekologesch

Am 1. Joer op der Oxford University huet den australesche Wëssenschaftler Robert May déi theoretesch Aspekter vun der demographescher Dynamik studéiert. Hien huet seng Aarbecht an engem Pabeier zesummegefaasst, deen am Journal Nature ënner dem provokativen Titel "Simple Mathematical Models with Very Complex Dynamics" [XNUMX] opgetaucht ass. Iwwer de Joren ass dësen Artikel ee vun de meescht zitéierten Wierker an der theoretescher Ökologie ginn. Wat huet esou Interessi un dëser Aarbecht verursaacht?

De klassesche Problem vun der Populatiounsdynamik ass déi zukünfteg Bevëlkerung vun enger bestëmmter Spezies ze berechnen, no hirem aktuellen Zoustand. Mathematesch waren déi einfachst Ökosystemer an deenen d'Liewen vun enger Generatioun vun enger Populatioun eng Saison dauert. E gutt Beispill ass eng Bevëlkerung vun Insekten, déi an enger Saison eng komplett Metamorphose erliewen, wéi zum Beispill Päiperleken. Zäit ass natierlech an diskret Perioden ënnerdeelt2 entspriechend dem Liewenszyklus vun der Bevëlkerung. Also hunn d'Equatiounen, déi sou en Ökosystem beschreiwen, natierlech de sougenannte diskret Zäit, d.h. t = 1,2,3... De Robert May huet sech ënner anerem mat esou Dynamik beschäftegt. A sengem Begrënnung huet hien den Ökosystem zu enger eenzeger Spezies vereinfacht, där hir Populatioun eng quadratesch Funktioun vun der Populatioun vum Joer virdrun war. Wou koum dëse Modell hier?

Déi einfachst diskret Equatioun déi d'Evolutioun vun enger Bevëlkerung beschreift ass e linearem Modell:

wou Ni den Heefegkeet an der i-th Saison ass, an Ni + 1 beschreift d'Populatioun an der nächster Saison. Et ass einfach ze gesinn datt sou eng Equatioun zu dräi Szenarie féieren kann. Wann a = 1, wäert d'Evolutioun d'Gréisst vun der Bevëlkerung net änneren, a <1 féiert zum Ausstierwen, an de Fall a > 1 bedeit onlimitéiert Populatiounswuesstem. Dëst wäert zu engem Desequiliber an der Natur féieren. Well alles an der Natur limitéiert ass, mécht et Sënn dës Equatioun unzepassen fir déi limitéiert Quantitéit u Ressourcen ze berechnen. Stellt Iech vir datt Schädlinge Getreide iessen, wat all Joer genau d'selwecht ass. Wann Insekte knapp sinn am Verglach mat der Quantitéit u Liewensmëttel déi se reproduzéieren, kënne se sech mat voller Fortpflanzungskraaft reproduzéiere, mathematesch bestëmmt duerch de konstante a > 1. Wéi och ëmmer, wéi d'Zuel vun de Schädlinge eropgeet, gëtt d'Liewensmëttel knapp an d'Reproduktiounskapazitéit wäert erofgoen. An engem kriteschen Fall kann ee sech virstellen, datt esou vill Insekte gebuer ginn, datt se all d'Getreide iessen, ier se Zäit hunn ze reproduzéieren, an d'Populatioun stierft. E Modell, deen dësen Effekt vum limitéierten Zougang zu Liewensmëttel berücksichtegt, gouf fir d'éischt vum Verhulst am Joer 1838 proposéiert. An dësem Modell ass de Wuesstem net konstant, mä hänkt vum Zoustand vun der Bevëlkerung of:

D'Relatioun tëscht dem Wuesstemsquote a an Ni soll déi folgend Eegeschaften hunn: Wann d'Populatioun eropgeet, soll de Wuesstumsquote erofgoen, well den Zougang zu Liewensmëttel schwiereg ass. Natierlech ginn et vill Funktiounen mat dëser Immobilie: dëst sinn Top-down Funktiounen. Verhulst proposéiert déi folgend Relatioun:

wou a>0 a konstante K>0 Liewensmëttelressourcen charakteriséieren an d'Kapazitéit vun der Ëmwelt genannt ginn. Wéi beaflosst eng Ännerung am K den Taux vum Bevëlkerungswuesstem? Wann K eropgeet, geet Ni/K erof. Am Tour féiert dëst zu der Tatsaach datt 1-Ni / K wiisst, dat heescht datt et wiisst. Dëst bedeit datt de Wuesstumsquote eropgeet an d'Populatioun méi séier wiisst. Also loosst eis de fréiere Modell (1) änneren andeems Dir unzehuelen datt de Wuesstumsrate ännert wéi an der Equatioun (3). Da kréien mir d'Equatioun

Dës Equatioun kann als rekursiv Equatioun geschriwwe ginn

wou xi = Ni / K an xi + 1 = Ni + 1 / K bezeechnen déi ëmskaléiert Populatiounen an der Zäit i an Zäit i + 1. Equatioun (5) gëtt déi logistesch Equatioun genannt.

Et kann schéngen datt mat esou enger klenger Ännerung eise Modell einfach ze analyséieren ass. Loosst eis et kucken. Betruecht d'Equatioun (5) fir de Parameter a = 0.5 ab der initialer Bevëlkerung x0 = 0.45. Sequentiell Populatiounswäerter kënne mat der rekursiver Equatioun kritt ginn (5):

x₁= Axt₀(1st₀)

x₂= Axt₁(1st₁)

x₃= Axt₂(1st₂)

Fir d'Berechnungen am (6) ze erliichteren, kënne mir de folgende Programm benotzen (et ass am Python geschriwwen a kann ënner anerem op der Sage Plattform lafen. Mir recommandéieren Iech d'Buch ze liesen http://icse.us.edu .pl/e-book . ), déi eise Modell mimikéieren:

a = 0.5 an x = 0.45 fir i am Beräich (10):      x \u1d a * x * (XNUMX-x)      print x

Mir berechnen successive Wäerter vu xi a bemierken datt se op Null tendéieren. Andeems Dir mam Code hei uewen experimentéiert, ass et och einfach ze gesinn datt dëst richteg ass onofhängeg vum initialen Wäert vun x0. Dëst bedeit datt d'Bevëlkerung stänneg stierft.

Op der zweeter Stuf vun der Analyse erhéijen mir de Wäert vum Parameter a op all Wäert am Beräich ae (1,3). Et stellt sech eraus datt dann d'Sequenz xi op e bestëmmte Betrag x * > 0 geet. Wann een dat aus der Siicht vun der Ökologie interpretéiert, kënne mir soen datt d'Bevëlkerungsgréisst op engem gewëssen Niveau fixéiert ass, deen net vun Saison zu Saison ännert . Et ass derwäert ze notéieren datt de Wäert vun x * net vum initialen Zoustand x0 hänkt. Dëst ass den Effekt vum Ökosystem Striewen no Stabiliséierung - d'Bevëlkerung passt seng Gréisst un d'Fäegkeet fir sech selwer ze ernähren. Mathematesch gëtt gesot datt de System zu engem stabile fixe Punkt tendéiert, d.h. d'Gläichheet zefridden ze stellen x = f(x) (dat heescht datt de Staat am nächste Moment d'selwecht ass wéi am virege Moment). Mat Sage kënne mir dës Evolutioun grafesch visualiséieren andeems Dir d'Bevëlkerung iwwer Zäit plott.

Esou e Stabiliséierungseffekt gouf vun de Fuerscher erwaart, an d'logistesch Equatioun (5) hätt net vill Opmierksamkeet ugezunn, wann et net fir eng Iwwerraschung wier. Et huet sech erausgestallt datt fir bestëmmte Wäerter vum Parameter de Modell (5) sech op eng onberechenbar Manéier behält. Als éischt ginn et periodesch a multiperiodesch Staaten. Zweetens, mat all Zäitschrëtt ännert d'Populatioun ongläich, wéi eng zoufälleg Bewegung. Drëttens gëtt et grouss Empfindlechkeet fir initial Bedéngungen: zwee bal net z'ënnerscheedbar initial Staate féieren zu enger komplett anerer Bevëlkerungsevolutioun. All dës Fonctiounen si charakteristesch fir Verhalen, dat gläicht eng komplett zoufälleg Bewegung a gëtt deterministesche Chaos genannt.

Loosst eis dës Immobilie entdecken!

Als éischt stelle mer de Wäert vum Parameter a = 3.2 a kuckt d'Evolutioun. Et kann iwwerraschend schéngen datt dës Kéier d'Bevëlkerung net ee Wäert erreecht, mee zwee, déi all zweet Saison hannereneen optrieden. Allerdéngs huet sech erausgestallt, datt d'Problemer net do opgehalen hunn. Mat a = 4 ass de System net méi prévisibel. Loosst eis d'Figur kucken (2) oder generéieren eng Sequenz vun Zuelen selwer mat engem Computer. D'Resultater kucken reng zoufälleg a ganz anescht fir liicht ënnerschiddlech Startpopulatiounen. Allerdéngs muss de opmierksam Lieser dogéint. Wéi kann e System beschriwwen vun enger deterministescher Equatioun1, och eng ganz einfach, onberechenbar behuelen? Gutt, vläicht.

Eng Feature vun dësem System ass seng bemierkenswäert Empfindlechkeet fir initial Bedéngungen. Et geet duer, mat zwee initial Bedéngungen unzefänken, déi sech ëm eng Milliounste ënnerscheeden, an an e puer Schrëtt wäerte mir komplett aner Populatiounswäerter kréien. Loosst eis um Computer kucken:

a = 4.0

x = 0.123 y=0.123+0.000001 PCC = [] fir i am Beräich (25): x = a*x*(1-x) y = a*y*(1-y) print x,y

Hei ass en einfache Modell vun der deterministescher Evolutioun. Awer dësen Determinismus ass täuschend, et ass just mathematesche Determinismus. Aus praktescher Siicht verhält sech de System onberechenbar, well mir d'Ufangsbedéngungen ni mathematesch genee setzen. Tatsächlech gëtt alles mat enger gewësser Genauegkeet bestëmmt: all Messinstrument huet eng gewësse Genauegkeet, an dëst kann praktesch Onberechenbarkeet an deterministesche Systemer verursaachen, déi d'Besëtz vum Chaos hunn. E Beispill sinn Wiederprevisiounsmodeller, déi ëmmer e Chaosegenschaft ausweisen. Dofir sinn laangfristeg Wiederprevisiounen esou schlecht.

D'Analyse vu chaotesche Systemer ass extrem schwéier. Wéi och ëmmer, mir kënne vill vun de Mystère vum Chaos ganz einfach mat der Hëllef vu Computersimulatioune léisen. Loosst eis de sougenannte Bifurkatiounsdiagramm zéien, op deem mir d'Wäerter vum Parameter a laanscht d'Abscissaachs setzen, an déi stabil fixe Punkte vun der logistescher Mapping laanscht d'Ordinateachs. Mir kréien stabil Punkte andeems mir eng grouss Zuel vu Systemer gläichzäiteg simuléieren a Wäerter no ville Proufzäiten plotten. Wéi Dir kéint roden, verlaangt dëst vill Berechnungen. Loosst eis probéieren déi folgend Wäerter "propper" ze verarbeiten:

import numpy als np Nx = 300 Dat = 500 x = np.linspace(0,1,Nx) х = х + np.nullen ((Na, Nx)) h = np.transpose (h) a = np.linspace (1,4, Na) a=a+np.zeros((Nx,Na)) fir i am Beräich (100): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] fir a_,x_ an zip(a.flatten(),x.flatten())] Punkt(pt, Gréisst=1, Figsize=(7,5))

Mir sollten eppes ähnlech wéi d'Figur (3) kréien. Wéi interpretéiere mir dës Zeechnung? Zum Beispill, mam Wäert vum Parameter a = 3.3, hu mir 2 stabil fixe Punkten (d'Bevëlkerungsgréisst ass all zweet Saison d'selwecht). Wéi och ëmmer, fir de Parameter a = 3.5 hu mir 4 konstante Punkten (all véiert Saison huet d'Populatioun déiselwecht Zuel), a fir de Parameter a = 3.56 hu mir 8 konstante Punkten (all aacht Saison huet d'Populatioun déiselwecht Zuel). Awer fir de Parameter a≈3.57 hu mir onendlech vill fix Punkten (Bevëlkerungsgréisst widderhëlt sech ni a ännert sech op onberechenbar Manéier). Wéi och ëmmer, mat engem Computerprogramm kënne mir den Ëmfang vum Parameter a änneren an déi onendlech geometresch Struktur vun dësem Diagramm mat Ären eegenen Hänn entdecken.

Dëst ass just den Tipp vum Äisbierg. Dausende vu wëssenschaftleche Pabeiere goufen iwwer dës Equatioun geschriwwen, awer et verstoppt ëmmer nach seng Geheimnisser. Mat der Hëllef vun der Computersimulatioun kënnt Dir, ouni emol op méi héijer Mathematik, de Pionéier vun der Welt vun der netlinearer Dynamik spillen. Mir invitéieren Iech d'Online Versioun ze liesen mat Detailer iwwer vill vun den interessanten Eegeschafte vun der logistescher Equatioun an interessant Weeër fir se ze visualiséieren.

¹ En deterministescht Gesetz ass e Gesetz an deem d'Zukunft eenzegaarteg vum initialen Zoustand bestëmmt gëtt. Den Antonym ass dat probabilistescht Gesetz. ² An der Mathematik heescht "diskret" Wäerter aus engem bestëmmte zielbare Set ze kréien. De Géigendeel ass "kontinuéierlech".