ëmgedréint Charme
Et gëtt vill iwwer d"Schéinheet vun de Géigendeel geschwat, an net nëmmen an der Mathematik. Bedenkt datt Géigewier Zuelen sinn déi nëmmen am Zeechen ënnerscheeden: plus 7 a Minus 7. D'Zomm vun Géigewier Zuelen ass null. Awer fir eis (dh Mathematiker) sinn déi géigesäiteg Zuelen méi interessant. Wann d'Produkt vun Zuelen d'selwecht ass wéi 1, da sinn dës Zuelen Inverse vuneneen. All Zuel huet säi Géigendeel, all Net-Null Zuel huet seng Invers. Den Inverse vum Invers ass de Som.
Inversioun geschitt iwwerall wou zwou Quantitéite matenee verbonne sinn, sou datt wann een eropgeet, déi aner mat engem entspriechende Taux erofgeet. "Entspriechend" heescht datt d'Produkt vun dëse Quantitéiten net ännert. Mir erënneren eis aus der Schoul: dat ass ëmgedréint Proportionalitéit. Wann ech an der Halschent vun der Zäit op meng Destinatioun wëll kommen (dat heescht d'Zäit an d'Halschent schneiden), muss ech meng Geschwindegkeet verduebelen. Wann Dir de Volume vun engem zouene Behälter mat Gas ëm n Mol reduzéiert, da wäert säin Drock ëm n Mol eropgoen.
An der Grondschoul ënnerscheede mir suergfälteg tëscht Differential- a Relativvergläicher. "Wéi vill méi"? - "Wéi oft méi?"
Hei sinn e puer Schoulevenementer:
Aufgab 1. Vun zwou positiven Quantitéiten ass déi éischt 5 Mol méi grouss wéi déi zweet a gläichzäiteg 5 Mol méi grouss wéi déi éischt. Wat sinn d'Dimensioune?
Aufgab 2. Wann eng Zuel méi grouss ass wéi déi zweet ëm 3, an déi zweet ass méi grouss wéi déi drëtt mat 2, wéi vill méi grouss ass déi éischt Zuel wéi déi drëtt? Wann déi éischt positiv Zuel zweemol déi zweet ass, an déi éischt Zuel ass dräimol déi drëtt, wéi oft ass déi éischt Zuel méi grouss wéi déi drëtt?
Aufgab 3. An Aufgab 2 sinn nëmmen natierlech Zuelen erlaabt. Ass en Arrangement wéi do beschriwwen méiglech?
Aufgab 4. Vun zwou positiven Quantitéiten ass déi éischt 5 Mol méi grouss wéi déi zweet, an déi zweet ass 5 Mol méi grouss wéi déi éischt. Ass et méiglech?
D'Konzept vun "Duerchschnëtt" oder "Duerchschnëtt" schéngt ganz einfach. Wann ech e Méindeg 55km, Dënschdeg 45km an e Mëttwoch 80km gefuer sinn, sinn ech am Moyenne 60km mam Vëlo pro Dag. Mat deene Berechnunge si mir ganz averstanen, obwuel se e bësse komesch sinn, well ech nach ni 60 km an engem Dag gefuer sinn. Mir akzeptéieren och einfach d'Aktie vun enger Persoun: wann zweehonnert Leit e Restaurant bannent sechs Deeg besichen, dann ass den duerchschnëttleche deeglechen Taux 33 an eng drëtt Persoun. Hm!
Et gi Problemer nëmme mat der mëttlerer Gréisst. Vëlo fueren ech gär. Also hunn ech vun der Offer vun der Reesbüro "Komm mat eis" profitéiert - si liwweren Gepäck an den Hotel wou de Client mam Vëlo fir Fräizäitzwecker geet. E Freideg sinn ech véier Stonne gefuer: déi éischt zwou mat enger Vitess vu 24 km an der Stonn. Dunn war ech sou midd, datt ech fir déi nächst zwee nëmmen 16 eng Stonn gemaach. Wat war meng Moyenne Geschwindegkeet? Natierlech (24+16)/2=20km=20km/h.
E Samschdeg war de Gepäck awer am Hotel hannerlooss, an ech sinn d'Ruine vun der Buerg, 24 km ewech, kucke gaang an, nodeems ech se gesinn hunn, zréck komm. Ech sinn eng Stonn an eng Richtung gefuer an si méi lues zréck komm, mat enger Vitess vu 16 km an der Stonn. Wat war meng Moyenne Vitesse op der Hotel-Schlass-Hotel Streck? 20 km/h? Natierlech net. Ëmmerhin sinn ech am Ganzen 48 km gefuer an et huet mech eng Stonn ("do") an eng annerhallef Stonn zeréck gedauert. 48 km an zwou an eng hallef Stonn, d.h. Stonn 48/2,5=192/10=19,2 km! An dëser Situatioun ass d'Duerchschnëttsgeschwindegkeet net de arithmetesche Mëttel, mee eng Harmonie vun de gegebene Wäerter:
an dës zwee-Geschicht Formel kann wéi follegt gelies ginn: der harmonesch Moyenne vun positiv Zuelen ass de Géigesäitegkeet vun der arithmetesch Moyenne vun hirem Géigesäitegkeet. D'Invers vun der Zomm vun den Inversen erschéngt a ville Chorusen vu Schoulaufgaben: wann een Aarbechter fir Stonnen gräift, deen aneren fir b Stonnen, dann, zesumme schaffen, graven se op Zäit. Pool mat Waasser (eent op eng Stonn, eng aner op sechs Stonnen). Wann ee Widderstand R1 huet an deen aneren huet R2, dann hunn se parallel Resistenz.
Wann ee Computer e Problem a Sekonnen léise kann, en anere Computer a b Sekonnen, dann wa se zesumme schaffen ...
Stop! Dëst ass wou d'Analogie endet, well alles hänkt vun der Geschwindegkeet vum Netzwierk of: d'Effizienz vun de Verbindungen. D'Aarbechter kënnen och géigesäiteg behënneren oder hëllefen. Wann eng Persoun eng Brunn an aacht Stonnen gräift, kënnen aachtzeg Aarbechter et an 1/10 vun enger Stonn (oder 6 Minutten) maachen? Wa sechs Portier e Piano op den éischte Stack a 6 Minutten liwweren, wéi laang dauert et fir ee vun hinnen de Piano op de siechzegsten Stack ze liwweren? D'Absurditéit vu sou Probleemer mécht eis un d'limitéiert Uwendung vun all Mathematik op "real Liewen" Probleemer erënneren.
Léif Verkeefer
Skalen ginn net méi benotzt. Loosst eis drun erënneren datt e Gewiicht op eng Schuel vun esou Skalen geluecht gouf, d'Wueren déi gewien goufen op der anerer plazéiert, a wann d'Gewiicht am Gläichgewiicht war, hunn d'Wueren d'selwecht wéi d'Gewiicht gewien. Natierlech musse béid Waffen vum Gewiicht déiselwecht Längt sinn, soss wäert d'Gewiicht falsch sinn.
Oh richteg. Stellt Iech e Verkeefer vir, dee Gewiicht mat ongläiche Schëlleren huet. Hie wëll awer éierlech mat de Clienten sinn a waacht d'Wueren an zwee Chargen. Als éischt setzt hien e Gewiicht op enger Pan an eng entspriechend Quantitéit vu Wueren op der anerer, sou datt d'Skalen am Gläichgewiicht sinn. Hie waacht dann déi zweet "Halschent" vun de Wueren an ëmgedréint Uerdnung, dat heescht, hien setzt d'Gewiicht op déi zweet Pan an d'Wueren op déi éischt. Well d'Hänn ongläich sinn, sinn d'Hälschen ni gläich. An de Verkeefer huet e kloert Gewëssen, a Keefer luewen seng Éierlechkeet: "Wat hien hei ewechgeholl huet, huet hien spéider bäigefüügt."
Loosst eis awer méi genau kucken op d'Behuele vun engem Verkeefer deen trotz dem onzouverlässeg Gewiicht éierlech wëll sinn. Loosst d'Waffen vun der Gläichgewiicht Längt a a b hunn. Wann eng vun de Schësselcher mat engem Kilogramm Gewiicht gelueden ass, an déi aner ass mat x Wueren gelueden, da sinn d'Skalen am Gläichgewiicht wann ax = b déi éischte Kéier an bx = a déi zweet Kéier. Also, den éischten Deel vum Produkt ass gläich wéi b / a Kilogramm, den zweeten Deel ass gläich wéi a / b. E gutt Gewiicht huet a = b, dat heescht datt de Keefer 2 kg Wueren kritt. Loosst eis kucken wat geschitt wann a ≠ b. Dann a – b ≠ 0 a vun der ofkierzter Multiplikatiounsformel hu mir
Mir koumen zu engem onerwaarte Resultat: déi anscheinend fair Method vun der "Duerchschnëtt" Messung an dësem Fall funktionnéiert zum Benefice vum Keefer, dee méi Wueren kritt.
5 Job. (Wichteg, guer net an der Mathematik!). Eng Moustique waacht 2,5 Milligramm, an en Elefant fënnef Tonnen (dëst ass ganz korrekt Daten). Berechent d'arithmetesch, geometresch an harmonesch Moyenne vun de Massen (Gewiichter) vun der Moustique an dem Elefant. Iwwerpréift d'Berechnungen a kuckt ob se iwwer arithmetesch Übungen e Sënn maachen. Loosst eis aner Beispiller vu mathematesch Berechnungen kucken, déi am "richtege Liewen" kee Sënn maachen. Tipp: Mir hu schonn ee Beispill an dësem Artikel gekuckt. Heescht dat, datt den anonyme Schüler, deem seng Meenung ech um Internet fonnt hunn, richteg hat: "Mathematik mécht Leit mat Zuelen"?
Jo, ech sinn d'accord datt Dir an der Groussregioun vun der Mathematik d'Leit "Narr" kënnt - all zweet Shampoing Annonce seet datt et Frizz ëm e puer Prozent eropgeet. Wäerte mir no méi Beispiller vun nëtzlechen alldeeglechen Tools sichen, déi fir kriminell Aktivitéit benotzt kënne ginn?
Gramm!
Den Titel vun dësem Passage ass e Verb (Éischt Persoun Plural) anstatt e Substantiv (Nominativ Plural vun engem Dausendstel Kilogramm). Harmonie setzt Uerdnung a Musek vir. Fir d'antike Griichen war d'Musek eng Zweig vun der Wëssenschaft - zouginn, wa mir dat soen, iwwerdroe mir déi aktuell Bedeitung vum Wuert "Wëssenschaft" an d'Zäit virun eiser Ära. De Pythagoras huet am XNUMX. Joerhonnert v. Chr. Hien kannt keng arabesch oder souguer réimesch Zifferen (si koumen ëm d'5. Joerhonnert v. Chr.), hie wousst net wat d'punesch Kricher waren... Mee hie kannt Musek...
Hie wousst, datt op Stringinstrumenter d'Vibrationskoeffizienten ëmgekéiert proportional zu der Längt vun de vibréierende Deeler vun de Saiten sinn. Hie wousst, hie wousst, hie konnt et einfach net ausdrécken wéi mir et haut maachen.
D'Frequenzen vun deenen zwee Stringvibrationen, déi eng Oktav ausmaachen, sinn an engem 1:2 Verhältnis, dat heescht, d'Frequenz vun der méi héijer Noten ass zweemol d'Frequenz vun der ënneschter. De richtege Schwéngungsverhältnis fir Fënneft ass 2:3, Véiert ass 3:4, pure Major Drëttel ass 4:5, kleng Drëttel ass 5:6. Dëst sinn agreabel Konsonantintervaller. Da ginn et zwee neutral, mat Schwéngungsverhältnisser vu 6:7 a 7:8, dann dissonant - e groussen Toun (8:9), e klengen Toun (9:10). Dës Fraktiounen (Verhältnisser) sinn ähnlech wéi d'Verhältnisser vun successive Begrëffer vun enger Sequenz, déi Mathematiker (aus dësem Grond) eng harmonesch Serie nennen:
- theoretesch eng onendlech Quantitéit. De Verhältnis vun Oktavvibrationen kann als 2:4 geschriwwe ginn an e Fënneftel tëscht hinnen setzen: 2:3:4, dat heescht, mir trennen d'Oktav an e Fënneftel an e Véiert. Dëst gëtt harmonesch Segment Divisioun an der Mathematik genannt:
Reis. 1. Fir e Museker: d'Oktav AB op de fënneften AC deelen.Fir de Mathematiker: Harmonesch Segmentatioun
Wat mengen ech wann ech (uewen) iwwer eng theoretesch onendlech Zomm schwätzen, wéi eng harmonesch Serie? Et stellt sech eraus datt sou eng Zomm all grouss Zuel ka sinn, den Haapt Saach ass datt mir laang genuch addéieren. D'Ingrediente ginn ëmmer manner, awer et ginn ëmmer méi vun hinnen. Wat herrscht? Hei gi mir an de Beräich vun der mathematescher Analyse. Et stellt sech eraus datt d'Ingredienten erschöpft sinn, awer net ganz séier. Ech wäert weisen datt, mat genuch Zutaten, ech eng Zomm maache kann:
arbiträr grouss. Als Beispill huelen mir n = 1024. Loosst eis d'Wierder gruppéiere wéi an der Figur gewisen:
An all Klammer ass all Wuert méi grouss wéi dat viregt, ausser, natierlech, dat lescht, dee sech selwer gläich ass. An de folgende Klammeren hu mir 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 an 512 Komponenten; de Wäert vun der Zomm an all Klammer ass méi wéi ½. All dëst ass méi wéi 5½. Méi genee Berechnunge géife weisen datt dëse Betrag ongeféier 7,50918 ass. Net vill, awer ëmmer, an Dir kënnt gesinn, datt duerch huelen n all grouss, Ech kann all Zuel schloen. Dës onheemlech lues (zum Beispill, mir iwwerschreiden zéng mat Ingredienten eleng) awer endlos Wuesstum huet ëmmer Mathematiker faszinéiert.
Rees an d'Onendlechkeet mat enger harmonescher Serie
Hei ass e Rätsel fir eng zimlech sérieux Mathematik. Mir hunn eng onlimitéiert Versuergung vu véiereckege Blöcke (wat soen ech, rechteckeg!) mat Dimensiounen vun, soen, 4 × 2 × 1. Betruecht e System, deen aus e puer (op fig. 2 - véier) Blöcke sou datt déi éischt ëm ½ vu senger Längt geneigt ass, déi zweet vun uewen ëm ¼ an sou weider, déi drëtt ëm ee sechsten. Gutt, vläicht fir et wierklech stabil ze maachen, loosst eis den éischte Ziegel e bësse manner kippen. Fir Berechnungen ass dëst egal.
Reis. 2. Bestëmmung vum Schwéierpunkt
Et ass och einfach ze verstoen datt well d'Figur aus den éischten zwee Blöcke (vun uewen zielen) en Symmetriezentrum um Punkt B huet, dann ass B den Schwéierpunkt. Loosst eis geometresch de Schwéierpunkt vun engem System aus dräi ieweschte Blöcke bestëmmen. E ganz einfacht Argument geet hei duer. Loosst eis d'Drei-Block Zesummesetzung mental an zwee iewescht an en drëtten ënneschten opdeelen. Dësen Zentrum muss op der Sektioun leien, déi d'Schwéierkraaftpunkte vun deenen zwee Deeler verbënnt. Op wéi engem Punkt an dësem Episod?
Et ginn zwou Weeër vun Bezeechnung. An der éischter wäerte mir d'Observatioun benotzen datt dësen Zentrum an der Mëtt vun der Dräi-Block Pyramid soll leien, dh op der riichter Linn, déi den zweeten, mëttlere Block kräizt. An der zweeter Method realiséiere mir datt well déi iewescht zwee Block eng total Mass zweemol déi vun engem eenzege Block #3 (uewen) hunn, muss de Schwéierpunkt an dëser Sektioun duebel sou no bei B sinn wéi zum Zentrum S vum Drëtte blockéieren. Ähnlech fanne mir den nächste Punkt: Mir verbannen de fonnten Zentrum vun den dräi Blöcke mam Zentrum S vum véierte Block. Den Zentrum vum ganze System ass op der Héicht 2 an um Punkt deen de Segment vun 1 op 3 deelt (dh ëm ¾ vu senger Längt).
D'Berechnungen, déi mir e bësse méi ausféieren, féieren zum Resultat an der Fig. fig. 3. Successiv Schwéierpunkte ginn aus dem richtege Rand vum ënneschte Block ewechgeholl duerch:
Also ass d'Projektioun vum Schwéierpunkt vun der Pyramid ëmmer an der Basis. Den Tuerm wäert net ëmklappen. Loosst eis elo kucken fig. 3 a fir e Moment loosse mer de fënneften Block vun uewen als Basis benotzen (dee mat enger méi hell Faarf markéiert ass). Top gekippt:
sou ass seng lénks Rand 1 méi wäit wéi de rietse Rand vun der Basis. Hei ass den nächste Schwong:
Wat ass de gréisste Schwong? Mir wëssen schonn! Et gëtt kee gréisste! Wann ee souguer déi klengst Blöcke hëlt, kritt een en Iwwerhang vun engem Kilometer - leider nëmme mathematesch: d'ganz Äerd géif net duergoen fir esou vill Blöcke ze bauen!
Reis. 3. Füügt méi Blocken
Elo d'Berechnungen déi mir uewen hannerlooss hunn. Mir berechnen all Distanzen "horizontal" op der x-Achs, well dorëms geet et. Punkt A (den Schwéierpunkt vum éischte Block) ass 1/2 vun der rietser Rand. Punkt B (den Zentrum vun der zwee-Block System) läit 1/4 vun der rietser Rand vun der zweeter Block. Loosst d'Enn vum zweete Block de Startpunkt sinn (mir ginn elo op den drëtten). Zum Beispill, wou ass den Zentrum vun der Schwéierkraaft vun Single Block #3? D'Halschent vun der Längt vun dësem Block, dofir gëtt et vun eisem Referenzpunkt ëm 1/2 + 1/4 = 3/4 geläscht. Wou ass de Punkt C? An zwee Drëttel vum Segment tëscht 3/4 an 1/4, dh um Punkt ze, änneren mir de Startpunkt op déi riets Rand vun der drëtter Spär. Den Schwéierpunkt vum Dräiblocksystem gëtt elo vum neie Referenzpunkt ewechgeholl, a sou weider. Schwéierpunkt Cn vun engem Tuerm aus n Blöcke ass 1/2n ewech vum momentane Referenzpunkt, deen de richtege Rand vum Basisblock ass, also den n.Block vun uewen.
Zënter der Serie vu Géigesäitegkeet divergéiert, kënne mir all grouss Variatioun kréien. Konnt dëst tatsächlech realiséiert ginn? Et ass wéi en endlosen Zilletuerm - desto oder spéider wäert en ënner sengem eegene Gewiicht zesummeklappen. An eisem Schema bedeiten minimal Ongenauegkeeten an der Blockplazéierung (an déi lues Erhéijung vun de partielle Reizommen) datt mir net ganz wäit kommen.
