Geometresch Weeër an Décke
Beim Schreiwen vun dësem Artikel hunn ech mech un e ganz aalt Lidd vum Jan Pietrzak erënnert, dat hie virun senger satirescher Aktivitéit am Kabarett Pod Egidą gesongen huet, an der polnescher Volleksrepublik als Sécherheetsventil unerkannt gouf; et kéint een éierlech iwwert d'Paradoxe vum System laachen. An dësem Lidd huet den Auteur sozialistesch politesch Participatioun recommandéiert, déi, déi apolitesch wëlle sinn, lächerlech ze maachen an de Radio an der Zeitung auszeschalten. "Et ass besser fir zréck an d'Schoul ze liesen", huet den deemools XNUMX Joer ale Petshak ironesch gesongen.
Ech ginn zréck an d'Schoul liesen. Ech liesen erëm (net fir d'éischte Kéier) d'Buch vum Shchepan Yelensky (1881-1949) "Lylavati". Fir wéineg Lieser seet d'Wuert selwer eppes. Dëst ass den Numm vun der Duechter vum berühmten hinduistesche Mathematiker bekannt als Bhaskara (1114-1185), genannt Akaria, oder de Sage dee säi Buch iwwer Algebra mam Numm genannt huet. D'Lilavati gouf spéider e renomméierte Mathematiker a Philosoph selwer. Laut anere Quellen ass et si, déi d'Buch selwer geschriwwen huet.
De Szczepan Yelensky huet säi Buch iwwer Mathematik de selwechten Titel ginn (éischt Editioun, 1926). Et ka souguer schwéier sinn dëst Buch e mathematescht Wierk ze nennen - et war méi eng Rei vu Puzzel, a gréisstendeels aus franséische Quellen nei geschriwwe ginn (Urheberrechter am modernen Sënn gouf et net). Jiddefalls war et fir vill Joren dat eenzegt populär polnescht Buch iwwer Mathematik - spéider koum dem Jelensky säin zweet Buch, dem Pythagoras seng Séissegkeeten. Also jonk Leit, déi un der Mathematik interesséiert waren (dat ass genee wat ech eemol war) haten näischt ze wielen ...
op der anerer Säit, "Lilavati" huet misse bal aus Häerz bekannt ginn ... Ah, et waren Zäiten ... Hire gréisste Virdeel war, datt ech deemools ... Teenager war. Haut, aus der Siicht vun engem gutt gebilte Mathematiker, kucken ech Lilavati op eng ganz aner Manéier - vläicht wéi e Kloterer op de Béie vum Wee op Shpiglasova Pshelench. Weder een nach deen anere verléiert säi Charme ... A sengem charakteristesche Stil schreift de Shchepan Yelensky, deen a sengem perséinleche Liewen déi sougenannt national Iddien bekennt, am Virwuert:
Ouni op d'Beschreiwung vun nationalen Charakteristiken ze beréieren, wäert ech soen, datt och no nonzeg Joer Yelensky Wierder iwwer Mathematik hir Relevanz net verluer hunn. Mathematik léiert Iech ze denken. Et ass e Fakt. Kënne mir Iech léieren anescht, méi einfach a méi schéin ze denken? Vläicht. Et ass just ... mir kënnen nach ëmmer net. Ech erkläre menge Schüler, déi keng Mathematik maache wëllen, datt dëst och en Test vun hirer Intelligenz ass. Wann Dir net wierklech einfach Mathematiktheorie léiere kënnt, dann ... vläicht sinn Är mental Fäegkeeten méi schlëmm wéi mir allebéid gär hätten ...?
Schëlder am Sand
An hei ass déi éischt Geschicht am "Lylavati" - eng Geschicht beschriwwen vum franséische Philosoph Joseph de Maistre (1753-1821).
E Séifuerer aus engem zerstéierte Schëff gouf vu Wellen op eng eidel Ufer geworf, déi hien als onbewunnt ugesinn huet. Op eemol, am Küstesand, huet hien eng Spuer vun enger geometrescher Figur gesinn, déi virun engem gezeechent gouf. Et war deemools datt hien gemierkt huet datt d'Insel net desertéiert ass!
De Mestri zitéiert, schreift Yelensky: geometresch Figuret wier e stomme Ausdrock fir déi onglécklech, Schëffswrack, Zoufall gewiescht, awer hien huet him op ee Bléck Undeel an Zuel gewisen, an dëst huet en opgekläerte Mann ugekënnegt. Sou vill fir Geschicht.
Bedenkt datt e Séifuerer déi selwecht Reaktioun verursaacht, zum Beispill andeems Dir de Buschtaf K, ... an all aner Spure vun der Präsenz vun enger Persoun zeechnen. Hei ass d'Geometrie idealiséiert.
Den Astronom Camille Flammarion (1847-1925) huet awer virgeschloen, datt d'Zivilisatiounen sech mat der Geometrie vu wäitem begréissen. Hien huet an dësem deen eenzege richtegen a méigleche Versuch vun der Kommunikatioun gesinn. Loosst eis esou Mars d'Pythagorean Dräieck weisen ... si äntweren eis mam Thales, mir äntweren hinnen mat Vieta Musteren, hire Krees passt an en Dräieck, also huet eng Frëndschaft ugefaang ...
Schrëftsteller wéi Jules Verne a Stanislav Lem sinn op dës Iddi zréckkomm. An 1972 goufen Plättercher mat geometreschen (an net nëmmen) Musteren u Bord vun der Pioneer-Sond geluecht, déi nach ëmmer d'Ausdehnen vum Weltraum duerchkreest, elo bal 140 astronomesch Eenheeten vun eis (1 I ass den Duerchschnëttsdistanz vun der Äerd vun der Äerd) . Sonn, d.h. ongeféier 149 Millioune km). D'Fliesen gouf entworf, zum Deel, vum Astronom Frank Drake, Ersteller vun der kontroverser Regel iwwer d'Zuel vun extraterrestreschen Zivilisatiounen.
Geometrie ass erstaunlech. Mir kennen all den allgemenge Standpunkt iwwer den Urspronk vun dëser Wëssenschaft. Mir (mir Mënschen) hu just ugefaang d'Land (a spéider d'Land) fir déi meescht utilitaristesch Zwecker ze moossen. D'Bestëmmung vun Distanzen, riichter Linnen zeechnen, richtege Wénkel markéieren a Volumen berechnen gouf no an no eng Noutwennegkeet. Dofir dat Ganzt Geometrie ("Miessung vun der Äerd"), also all Mathematik ...
Wéi och ëmmer, fir eng Zäit huet dëst kloer Bild vun der Geschicht vun der Wëssenschaft eis bewölkt. Fir wann Mathematik nëmme fir operationell Zwecker gebraucht gëtt, wäerte mir net engagéiert sinn fir einfach Theorem ze beweisen. "Dir gesitt, datt dat iwwerhaapt soll stëmmen", géif ee soen, nodeems ee gepréift huet, datt a verschiddene rechteckegen Dräieck d'Zomm vun de Quadraten vun den Hypotenusen dem Quadrat vun der Hypotenuse gläich ass. Firwat esou Formalismus?
Plum Pie muss lecker sinn, de Computerprogramm muss funktionnéieren, d'Maschinn muss schaffen. Wann ech d'Kapazitéit vum Faass drëssegmol gezielt hunn an alles an der Rei ass, firwat soss?
An der Tëschenzäit ass et den antike Griichen opgefall, datt e puer formell Beweiser musse fonnt ginn.
Also, Mathematik fänkt mam Thales (625-547 v. Et gëtt ugeholl datt et de Milete war deen ugefaang huet ze froen firwat. Et geet net duer fir schlau Leit, datt se eppes gesinn hunn, datt se vun eppes iwwerzeegt sinn. Si hunn de Besoin fir Beweis gesinn, eng logesch Sequenz vun Argumenter vun Viraussetzung bis Dissertatioun.
Si wollten och méi. Et war wahrscheinlech den Thales deen als éischt probéiert huet kierperlech Phänomener op eng naturalistesch Manéier ze erklären, ouni göttlech Interventioun. D'europäesch Philosophie huet mat der Naturphilosophie ugefaang - mat deem wat schonn hannert der Physik steet (dohier den Numm: Metaphysik). Awer d'Fundamenter vun der europäescher Ontologie an der Naturphilosophie goufe vun de Pythagoräer geluecht (Pythagoras, ongeféier 580-c. 500 v.
Hien huet seng eege Schoul zu Crotone am Süde vun der Apennin Hallefinsel gegrënnt - haut géife mir et eng Sekt nennen. Wëssenschaft (am aktuelle Sënn vum Wuert), Mystik, Relioun a Fantasie sinn all enk matenee verbonnen. Den Thomas Mann huet ganz schéin d'Lektioune vun der Mathematik an engem däitsche Gymnasium am Roman Doctor Faustus presentéiert. Iwwersat vum Maria Kuretskaya a Witold Virpsha, liest dëst Fragment:
Am interessanten Buch vum Charles van Doren, The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present Day, hunn ech e ganz interessante Standpunkt fonnt. An engem vun de Kapitelen beschreift den Auteur d'Bedeitung vun der Pythagorean Schoul. Ganz den Titel vum Kapitel huet mech opgefall. Et liest: "The Invention of Mathematics: The Pythagoreans".
Mir diskutéieren dacks ob mathematesch Theorien entdeckt ginn (zB onbekannt Lännereien) oder erfonnt ginn (zB Maschinnen déi virdru net existéiert hunn). E puer kreativ Mathematiker gesinn sech als Fuerscher, anerer als Erfinder oder Designer, manner dacks Konter.
Awer den Auteur vun dësem Buch schreift iwwer d'Erfindung vun der Mathematik am Allgemengen.
Vun Iwwerdreiwung bis Wahn
No dësem laangen Aféierungs-Deel, ginn ech op den Ufank. Geometriefir ze beschreiwen, wéi eng Iwwervertrauen op Geometrie e Wëssenschaftler täuschen kann. De Johannes Kepler ass an der Physik an der Astronomie als Entdecker vun den dräi Bewegungsgesetzer vun Himmelskierper bekannt. Als éischt bewegt all Planéit am Sonnesystem an enger elliptescher Ëmlafbunn ëm d'Sonn, an engem vun de Foci vun deem d'Sonn ass. Zweetens, a reegelméissegen Ofstänn zitt de féierende Strahl vum Planéit, aus der Sonn gezunn, gläich Felder. Drëttens ass d'Verhältnis vum Quadrat vun der Revolutiounszäit vun engem Planéit ëm d'Sonn an de Kubus vun der Hallef-Haaptachs vu senger Ëmlafbunn (dh der Moyenne Distanz vun der Sonn) konstant fir all Planéiten am Sonnesystem.
Vläicht war dëst dat drëtt Gesetz - et erfuerdert vill Daten a Berechnungen fir et z'etabléieren, wat de Kepler opgefuerdert huet weider no Musteren an der Bewegung an der Positioun vun de Planéiten ze sichen. D'Geschicht vu senger neier "Entdeckung" ass ganz léierräich. Zënter der Antikitéit hu mir net nëmme regelméisseg Polyhedra bewonnert, awer och Argumenter déi weisen datt et nëmme fënnef vun hinnen am Raum sinn. En dreidimensionalen Polyhedron gëtt regelméisseg genannt wann seng Gesiichter identesch reegelméisseg Polygone sinn an all Wirtpunkt déiselwecht Zuel vu Kanten huet. Illustrativ soll all Eck vun engem reguläre Polyhedron "d'selwecht ausgesinn". De bekanntste Polyhedron ass de Kubus. Jiddereen huet eng gewéinlech Knöchel gesinn.
De reguläre Tetrahedron ass manner bekannt, an an der Schoul gëtt et déi regulär dräieckeg Pyramid genannt. Et gesäit aus wéi eng Pyramid. Déi reschtlech dräi regulär Polyhedra si manner bekannt. En Oktahedron gëtt geformt wa mir d'Zentren vun de Kante vun engem Kubus verbannen. Den Dodecahedron an den Ikosahedron ausgesinn scho wéi Bäll. Aus mëllem Lieder gemaach, si wären bequem ze graven. D'Begrënnung datt et keng regulär Polyhedra gëtt ausser déi fënnef Platonesch Feststoffer ass ganz gutt. Als éischt mierken mir datt wann de Kierper reegelméisseg ass, da muss déiselwecht Zuel (lass q) vun identesche reegelméissege Polygone bei all Wirbels konvergéieren, loosst dës p-Wénkel sinn. Elo musse mir erënneren wat de Wénkel an engem reguläre Polygon ass. Wann een sech net aus der Schoul erënnert, erënnere mir Iech wéi een dat richtegt Muster fënnt. Mir hunn eng Rees ëm den Eck gemaach. Bei all Wirbel dréie mir duerch dee selwechte Wénkel a. Wa mir ëm de polygon goen an zréck op de Startpunkt, hu mir p esou Wendungen gemaach, an am Ganzen hu mir 360 Grad gedréint.
Awer α ass 180 Grad 'Ergänzung vum Wénkel dee mir wëlle berechnen, an ass dofir
Mir hunn d'Formel fir de Wénkel fonnt (e Mathematiker géif soen: Wénkelmoossnamen) vun engem reguläre Polygon. Loosst eis kucken: am Dräieck p = 3 gëtt et keen a
Esou. Wann p = 4 (Quadrat), dann
Grad ass och gutt.
Wat kréie mir fir e Pentagon? Also wat geschitt wann et q Polygonen sinn, all p huet déiselwecht Winkelen
Grad erof bei engem Wirbel? Wann et op engem Fliger wier, da géif e Wénkel bilden
Grad a kënnen net méi wéi 360 Grad sinn - well dann d'Polygonen iwwerlappen.
Wéi och ëmmer, well dës Polygone sech am Raum treffen, muss de Wénkel manner wéi de ganze Wénkel sinn.
An hei ass d'Ongläichheet, aus där et alles folgt:
Deelt et mat 180, multiplizéiert déi zwee Deeler mat p, Uerdnung (p-2) (q-2) < 4. Wat kënnt duerno? Loosst eis bewosst sinn datt p an q natierlech Zuele musse sinn an datt p > 2 (firwat? A wat ass p?) an och q > 2. Et ginn net vill Weeër fir d'Produkt vun zwou natierlechen Zuelen manner wéi 4 ze maachen. wäert se all oplëschten. an der Tabell 1.
Ech posten keng Zeechnungen, jidderee kann dës Figuren um Internet gesinn ... Um Internet ... Ech refuséieren net eng lyresch Digression - vläicht ass et interessant fir jonk Lieser. 1970 hunn ech op engem Seminar geschwat. D'Thema war schwéier. Ech hat wéineg Zäit fir ze preparéieren, ech souz owes. Den Haaptartikel war nëmmen liesen op der Plaz. D'Plaz war gemittlech, mat enger schaffen Atmosphär bass, gutt, et zougemaach um siwen. Dunn huet d'Braut (elo meng Fra) selwer ugebueden de ganzen Artikel fir mech ëmzeschreiwen: ongeféier eng Dose gedréckte Säiten. Ech hunn et kopéiert (nee, net mat engem Quill Pen, mir haten souguer Stëfter), de Virtrag war e Succès. Haut hunn ech probéiert dës Publikatioun ze fannen, déi schonn al ass. Ech erënnere mech just un den Numm vum Auteur ... Sichen um Internet hunn laang gedauert ... voll fofzéng Minutten. Ech denken driwwer mat engem Lach an e bëssen ongerechtfäerdegt Bedauern.
Mir zréck op Keplera an Geometrie. Anscheinend huet de Platon d'Existenz vun der fënnefter regulärer Form virausgesot, well hien eppes vereenegt huet, déi d'ganz Welt ofdeckt. Vläicht ass dat firwat hien e Student (Theajtet) instruéiert huet no hatt ze sichen. Wéi et war, sou war et, op Basis vun deem den Dodecahedron entdeckt gouf. Mir nennen dës Haltung vum Platon Pantheismus. All d'Wëssenschaftler, bis op Newton, hunn et zu engem méi oder mannerem Ausmooss gefall. Zënter dem héich rationalen uechtzéngten Joerhonnert huet säin Afloss drastesch ofgeholl, obwuel mir eis net däerfen schummen, datt mir all op déi eng oder aner Aart a Weis ënnergoen.
Am Kepler säi Konzept fir de Sonnesystem ze bauen war alles richteg, d'experimentell Donnéeën hunn d'Theorie zesummegefall, d'Theorie war logesch kohärent, ganz schéin ... awer komplett falsch. Zu senger Zäit waren nëmme sechs Planéite bekannt: Merkur, Venus, Äerd, Mars, Jupiter a Saturn. Firwat ginn et nëmme sechs Planéiten? Kepler gefrot. A wéi eng Regularitéit bestëmmt hir Distanz vun der Sonn? Hien huet ugeholl datt alles verbonne war, dat Geometrie a Kosmogonie sinn enk matenee verbonnen. Aus de Schrëfte vun den antike Griichen wousst hien datt et nëmme fënnef regulär Polyhedra waren. Hien huet gesinn, datt et fënnef Void tëscht de sechs Bunnen waren. Also vläicht entsprécht jiddereng vun dëse fräi Plazen e puer regelméisseg polyhedron?
No e puer Joer Observatioun an theoretescher Aarbecht huet hien déi folgend Theorie geschaf, mat där hien d'Dimensioune vun de Bunnen zimlech genee berechent huet, déi hien am Joer 1596 publizéiert huet Buch "Mysterium Cosmographicum" presentéiert: Stellt Iech eng riseg Sphär vir, den Duerchmiesser ass den Duerchmiesser vun der Ëmlafbunn vum Merkur a senger jährlecher Bewegung ëm d'Sonn. Da stellt Iech vir, datt et op dëser Kugel e reegelméissegen Oktaéder ass, op et eng Kugel, op et eng Ikosaeder, op et erëm eng Kugel, op et eng Dodecahedron, op et eng aner Kugel, op et en Tetrahedron, dann erëm eng Kugel, e Kubus an, endlech, op dëser Wierfel de Ball beschriwwen.
De Kepler huet ofgeschloss datt d'Duerchmiesser vun dëse successive Kugel den Duerchmiesser vun den Ëmlafbunne vun anere Planéiten waren: Merkur, Venus, Äerd, Mars, Jupiter a Saturn. D'Theorie schéngt ganz korrekt ze sinn. Leider ass dëst mat den experimentellen Donnéeën zesummegefall. A wat besser Beweiser fir d'Richtegkeet vun enger mathematescher Theorie wéi seng Korrespondenz mat experimentellen Daten oder Observatiounsdaten, besonnesch "vum Himmel geholl"? Ech resüméieren dës Berechnungen an der Tabell 2. Also wat huet de Kepler gemaach? Ech hu probéiert a probéiert bis et geschafft huet, dat ass, wann d'Konfiguratioun (Uerdnung vu Kugelen) an déi resultéierend Berechnungen mat den Observatiounsdaten zesummegefall sinn. Hei sinn modern Kepler Figuren a Berechnungen:
Et kann een der Faszinatioun vun der Theorie ënnergoen a gleewen datt d'Miessungen am Himmel ongenau sinn, an net d'Berechnungen, déi an der Rou vum Atelier gemaach goufen. Leider wësse mer haut datt et op d'mannst néng Planéiten sinn an datt all Zoufall vun de Resultater just en Zoufall sinn. Schued. Et war sou schéin ...
