Faarweg Plazen a Sonnendäischtert

Den Artikel beschreift meng Klassen fir Mëttelschoulstudenten - Stipendien vum National Children's Fund. D'Stëftung sicht besonnesch héichbegaabte Kanner a Jugendlecher (vum XNUMX. Grondschoul bis an de Lycée) a bitt "Stipendien" un ausgewielte Studenten un. Wéi och ëmmer, si besteet guer net an d'Ofdreiwung vu Cash, mee an enger ëmfaassender Betreiung fir d'Entwécklung vum Talent, als Regel, iwwer vill Joer. Am Géigesaz zu villen anere Projete vun deem Typ, huelen bekannte Wëssenschaftler, Kulturfiguren, prominent Humanisten an aner weisen Leit, souwéi e puer Politiker, d'Stëftung vun der Fondatioun eescht.

D'Aktivitéite vun der Fondatioun erstrecken sech op all Disziplinnen, déi Grondschoulfächer sinn, ausser fir Sport, och Konscht. De Fonds gouf 1983 als Antidot zu der deemoleger Realitéit geschaf. Jidderee ka sech an de Fong gëllen (normalerweis duerch eng Schoul, am léifsten virum Enn vum Schouljoer), awer natierlech gëtt et e gewëssen Seif, eng gewësse Qualifikatiounsprozedur.

Wéi ech scho gesot hunn, baséiert den Artikel op meng Meeschterklassen, speziell zu Gdynia, am Mäerz 2016, am 24. Junior Lycée am III Lycée. Marine. Zënter ville Joeren sinn dës Seminairen ënner der Regie vun der Fondatioun vum Wojciech Thomalczyk organiséiert ginn, en Enseignant vun aussergewéinleche Charisma an héijen intellektuellen Niveau. 2008 koum hien an den Top Ten a Polen, déi den Titel Professer fir Pädagogik ausgezeechent goufen (viru ville Joere virgesinn vum Gesetz). Et gëtt e liicht iwwerdreiwen an der Ausso: "Educatioun ass d'Achs vun der Welt".

an de Mound sinn ëmmer faszinéierend - da fillt Dir datt mir op engem klenge Planéit an engem risege Raum liewen, wou alles an Zentimeter a Sekonne gemooss ass a Bewegung ass. Et mécht mech souguer e bëssen Angscht, och d'Zäitperspektiv. Mir léieren datt déi nächst total Sonnendäischtert, siichtbar aus der Regioun vun der heiteger Warschau, am ... 2681 wäert sinn. Ech froe mech wien et wäert gesinn? Déi scheinbar Gréissten vun der Sonn a vum Mound an eisem Himmel si bal d'selwecht - dofir sinn Sonnendäischtert sou kuerz a sou spektakulär. Jorhonnerte laang sollten déi kuerz Minutte genuch sinn fir Astronomen d'Sonnekorona ze gesinn. Et ass komesch datt se zweemol am Joer geschéien ... awer dat heescht nëmmen datt iergendwou op der Äerd se fir eng kuerz Zäit ze gesinn sinn. Als Resultat vu Gezäitebeweegunge beweegt de Mound sech vun der Äerd ewech - an 260 Millioune Joer wäert et esou wäit ewech sinn, datt mir (mir???) nëmmen annular Sonnendäischtert gesinn.

Anscheinend déi éischt virauszesoen Sonnendäischtert, war den Thales vu Milet (28-585 Joerhonnerte v. Ob et tatsächlech geschitt ass, also ob hien et virausgesot huet, wësse mer wuel net, well d'Tatsaach, datt d'Däischtert a Klengasien am Mee 567 BC geschitt ass, ass e Fakt, deen duerch modern Berechnungen bestätegt gëtt. Natierlech zitéieren ech Donnéeën fir haut d'Zäitrechnung. Wéi ech e Kand war, hunn ech mir virgestallt wéi d'Leit Joer gezielt hunn. Also dëst ass zum Beispill 566 BC, Silvester kënnt an d'Leit freeën sech: nëmmen XNUMX Joer BC! Wéi glécklech musse si gewiescht sinn, wéi "eis Ära" endlech ukomm ass! Wat fir eng Millenniumwendung déi mir virun e puer Joer erlieft hunn!

D'Mathematik fir Datumen a Rangen ze berechnen Sonnendäischtert, ass net besonnesch komplizéiert, mä ass voll mat all Zorte vu Faktoren verbonne mat Regularitéit an, nach méi schlëmm, mat der ongläiche Bewegung vum Kierper an Ëmlafbunnen. Ech wéilt souguer dës Mathematik wëssen. Wéi konnt den Thales vu Miletus déi néideg Berechnunge maachen? D'Äntwert ass einfach. Dir musst eng Himmelskaart hunn. Wéi esou eng Kaart ze maachen? Dëst ass och net schwéier, déi al Ägypter woussten wéi et ze maachen. Um Mëtternuecht kommen zwee Paschtéier op den Daach vum Tempel eraus. Jidderee vun hinnen setzt sech a zeechent wat hien gesäit (wéi säi Kolleg). No zweedausend Joer wësse mir alles iwwer d'Bewegung vun de Planéiten ...

Schéin Geometrie, oder Spaass um "Teppech"

D'Griichen hunn d'Zuelen net gär, si hunn op d'Geometrie zréckgezunn. Dëst ass wat mir wäerte maachen. Eis Sonnendäischtert si wäerten einfach, faarweg, awer grad esou interessant an real. Mir akzeptéieren d'Konventioun datt déi blo Figur sech esou bewegt, datt se déi rout eclipséiert. Loosst eis déi blo Figur de Mound nennen, an déi rout Figur d'Sonn. Mir stellen eis déi folgend Froen:

1. wéi laang dauert eng Sonnendäischtert;
2. wann d'Halschent vum Zil bedeckt ass;

   Reis. 1 Multi-faarweg "Teppech" mat der Sonn a Mound

3. wat ass déi maximal Ofdeckung;
4. ass et méiglech d'Ofhängegkeet vun der Schëlddeckung zu Zäit ze analyséieren? An dësem Artikel (ech sinn limitéiert duerch d'Quantitéit vum Text) wäert ech op déi zweet Fro konzentréieren. Hannert deem ass eng flott Geometrie, vläicht ouni langweileg Berechnungen. Loosst eis op Fig. 1. Kann et dovun ausgoen, datt et mat ... enger Sonnendäischtert verbonnen ass?

Ech muss éierlech soen, datt d'Aufgaben, déi ech diskutéieren, speziell ausgewielt ginn, ugepasst un d'Wëssen an d'Fäegkeete vun de Mëttel- a Lycéeën. Awer mir trainéieren op sou Aufgaben wéi Museker Skalen spillen, an Athleten maachen allgemeng Entwécklungsübungen. Ausserdem ass et net nëmmen e schéinen Teppech (Fig. 1)?

Reis. 2 "Blo" Mound a "Rout" Sonn

Eis Himmelskierper wäerten op d'mannst am Ufank faarweg Quadrat sinn. De Mound ass blo, d'Sonn ass rout (am beschten fir ze faarwen). mat der presentéieren Sonnendäischtert De Mound verfollegt d'Sonn iwwer den Himmel, hëlt ... a mécht se zou. Et wäert d'selwecht bei eis sinn. Am einfachsten Fall, wann de Mound relativ zu der Sonn bewegt, wéi an der Fig. 2. Eng Sonnendäischtert fänkt un, wann de Rand vun der Moundscheif de Rand vun der Sonnescheif beréiert (Fig. 2) an endet wann en doriwwer eraus geet.

Reis. 3 De Mound kënnt diagonal un d'Sonn

Mir huelen un datt de "Mound" eng Zell pro Zäitunitéit bewegt, zum Beispill pro Minutt. D'Däischtert dauert dann aacht Unitéiten vun Zäit, soen Minutten. Halschent Sonnendäischtert komplett gedämpft D'Halschent vum Ziffer gëtt zweemol zougemaach: no 2 a 6 Minutten. De Prozentsaz Obscuratioun Grafik ass einfach. Wärend den éischten zwou Minutten schléisst d'Schëld gläichméisseg mat engem Taux vun null op 1 zou, déi nächst zwou Minutten ass et mat der selwechter Taux ausgesat.

Hei ass e méi interessant Beispill (Fig. 3). De Mound kënnt diagonal un d'Sonn. No eisem Per-Minute Bezuelungsvertrag dauert d'Eclipse 8√2 Minutten - an der Mëtt vun dëser Zäit hu mir eng total Sonnendäischtert. Berechent, wéi en Deel vun der Sonn no der Zäit t bedeckt ass (Fig. 3). Wann t Minutten zanter dem Ufank vun der Sonnendäischtert vergaange sinn, an als Resultat ass de Mound wéi an der Fig. 5, dann (opgepasst!) Dofir ass et bedeckt (d'Gebitt vum Quadrat APQR), gläich wéi d'Halschent vun der Sonnescheif; dofir gouf et bedeckt wann, d.h. 4 Minutte méi spéit (da 4 Minutte virum Enn vun der Sonnendäischtert).

Reis. 4 Grafik vun der "shading" Funktioun

Totalitéit dauert ee Moment (t = 4√2), an d'Grafik vun der "shaded part" Funktioun besteet aus zwee Bogen vu Parabolen (Fig. 4).

Eise bloe Mound wäert den Eck mat der rouder Sonn beréieren, awer et wäert et ofdecken, net diagonal, awer liicht diagonal. Interessant Geometrie erschéngt wann mir d'Bewegung e bësse komplizéiere (Fig. 6). D'Bewegungsrichtung ass elo Vektor [4,3], dat heescht "véier Zellen no riets, dräi Zellen erop." D'Positioun vun der Sonn ass esou datt d'Eclips ufänkt (Positioun A) wann d'Säite vun den "Himmelkierper" op e Véierel vun hirer Längt konvergéieren. Wann de Mound op d'Positioun B beweegt, wäert en e sechsten Deel vun der Sonn Sonnendäischtert maachen, an an der Positioun C wäert hien d'Halschent schloen. An der Positioun D hu mir eng total Sonnendäischtert, an da geet alles zréck, "wéi et war."

Reis. 5 Deel vun der Sonn verstoppt während Zäit t

D' Sonnendäischtert endet wann de Mound an der Positioun G ass. Et huet sou laang gedauert wéi Sektioun Längt AG. Wa mir, wéi virdrun, als Zäitunitéit d'Zäit huelen, während där de Mound "e Quadrat" passéiert, dann ass d'Längt vun der AG gläich. Wa mir op déi al Konventioun zréckgoen, datt eis Himmelskierper 4 op 4 sinn, wier d'Resultat anescht (wat?). Wéi et einfach ze weisen ass, schléisst d'Zil no t < 15. D'Grafik vun der Funktioun "Prozentsaz vun der Bildschirmofdeckung" kann an der Fig. 6.

Reis. 6 Grafik vun der Funktioun "Prozentschutz".

Sonnendäischtert a Sprong Equatioun

Reis. 7 Obstruktioun vun der Sonnenscheif während der Sonnendäischtert an der Fig. 6

De Problem vun Sonnendäischtert wier onkomplett wa mir de Fall vun Kreeser net betruecht. Dëst ass vill méi komplizéiert, awer loosst eis probéieren erauszefannen wann ee Krees d'Halschent vun deem aneren eclipséiert - an am einfachste Fall, wann ee vun hinnen laanscht den Duerchmiesser beweegt, deen se béid verbënnt. D'Zeechnung ass vertraut fir d'Inhaber vun enger Kreditkaart.

D'Berechnung vun der Positioun vun de Felder ass komplizéiert, well et erfuerdert éischtens Wëssen iwwer d'Formel fir d'Gebitt vun engem kreesfërmege Segment, zweetens d'Wëssen iwwer de Wénkelbogen, an drëttens (a Schlëmmst vun allem), d'Fäegkeet fir eng bestëmmte Spronggleichung ze léisen. Ech wäert net erkläre wat eng "transitiv Equatioun" ass, loosst eis e Beispill kucken (Fig. 8).

Reis. 8 "Sphäresch" Sonnendäischtert

Eng kreesfërmeg Sektioun ass d'"Schuel", déi bleift nodeems Dir e Krees mat enger riichter Linn ofgeschnidden huet. D'Gebitt vun esou engem Segment ass S = 1/2r²(φ-sinφ), wou r de Radius vum Krees ass, an φ den Zentralwénkel ass, op deem de Segment riicht (Fig. 8). Dëst gëtt einfach kritt andeems Dir d'Gebitt vum Dräieck aus der Géigend vum kreesfërmege Secteur subtrahéiert.

Episod O₁O₂ (d'Distanz tëscht den Zentren vun de Kreeser) ass dann gläich 2rcosφ/2, an d'Héicht (Breet, "Taille") h = 2rsinφ/2. Also, wa mir wëlle berechnen wéini de Mound d'Halschent vun der Sonnenscheif ofdeckt, musse mir d'Gleichung léisen: déi no Vereinfachung gëtt:

Reis. 9 Grafike vun zwou Funktiounen

D'Léisung vun esou Equatiounen geet iwwer déi einfach Algebra - d'Gleichung enthält béid Winkelen an hir trigonometresch Funktiounen. D'Gleichung ass iwwer d'Erreeche vun traditionelle Methoden. Dofir gëtt et genannt ze sprangen. Loosst eis als éischt d'Grafike vu béide Funktiounen kucken, dh Funktiounen a Funktiounen. Mir kënnen eng geschätzte Léisung aus dëser Figur liesen. Wéi och ëmmer, mir kënnen eng iterativ Approximatioun kréien oder ... d'Optioun Solver an der Excel Spreadsheet benotzen. All Lycée Schüler soll dat kënnen, well et d'20. Joerhonnert ass. Ech hunn e méi sophistikéiert Mathematica-Tool benotzt an hei ass eis Léisung mat XNUMX Dezimalplazen vun onnéideger Präzisioun:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Reis. 10 Animatioun vun der Sonnendäischtert an matematica

Mir maachen dëst an Graden andeems mir mat 180/π multiplizéieren. Mir kréien 132 Grad, 20 Minutten, 45 an e Véirel Bousekonnen. Mir berechent datt d'Distanz zum Zentrum vum Krees O ass₁O₂ = 0,808 Radius, an "Taille" 2,310.