SOU A WEM, dat ass: PROBEER WOU DIR KËNNT - Deel 2

An der viregter Episod hu mir eis mam Sudoku beschäftegt, e Rechnespill an deem Zuelen am Fong a verschiddenen Diagrammer no bestëmmte Reegelen arrangéiert sinn. Déi heefegst Variant ass e 9 × 9 Schachbrett, zousätzlech an néng 3 × 3 Zellen opgedeelt. D'Zuelen vun 1 bis 9 mussen drop gesat ginn, sou datt se net entweder an enger vertikaler Rei widderhuelen (Mathematiker soen: an enger Kolonn) oder an enger horizontaler Zeil (Mathematiker soen: op enger Rei) - an ausserdeem, sou datt si widderhuelen net. widderhuelen bannent all méi klenge Quadrat.

Na fig. 1 Mir gesinn dëst Puzzel an enger méi einfacher Versioun, dat ass e 6 × 6 Quadrat opgedeelt an 2 × 3 Rechtecker. Mir setzen d'Zuelen 1, 2, 3, 4, 5, 6 an - fir datt se net vertikal widderhuelen, och net horizontal, nach an jiddereng vun den ausgewielten Hexagonen.

Loosst eis probéieren am Top Square gewisen. Kënnt Dir et mat Zuelen ausfëllen 1 ze 6 no de Regele fir dëst Spill gesat? Et ass méiglech - awer zweedeiteg. Loosst eis kucken - e Quadrat op der lénkser Säit oder e Quadrat op der rietser zéien.

Mir kënne soen datt dëst net d'Basis fir de Puzzel ass. Mir huelen normalerweis un datt e Puzzel eng Léisung huet. D'Aufgab fir verschidde Base fir de "grousse" Sudoku, 9x9, ze fannen ass eng schwiereg Aufgab an et gëtt keng Chance fir se komplett ze léisen.

Eng aner wichteg Verbindung ass de widderspréchleche System. Den ënneschten mëttlere Quadrat (dee mat der Nummer 2 am Eck ënnen riets) kann net ofgeschloss ginn. Firwat?

Spaass a Réckzuch

Mir spillen weider. Loosst eis d'Kannerintuitioun benotzen. Si gleewen datt Ënnerhalung eng Aféierung fir d'Léieren ass. Loosst eis an de Weltraum goen. ageschalt fig. 2 jidderee gesäit d'Gitter tetrahedronaus Bäll, zum Beispill, Ping-Pong Bäll? Erënneren Schoul Geometrie Lektioune. D'Faarwen op der lénker Säit vum Bild erklären op wat et gekollt gëtt wann Dir de Block montéiert. Besonnesch dräi Corner (rout) Bäll ginn an een gepecht. Dofir musse se déiselwecht Zuel sinn. Vläicht 9. Firwat? A firwat net?

Oh ech hunn et net ausgeschwat Aufgaben. Et kléngt sou eppes: ass et méiglech d'Zuelen vun 0 bis 9 am sichtbare Gitter ze schreiwen, sou datt all Gesiicht all d'Zuelen enthält? D'Aufgab ass net schwéier, awer wéi vill musst Dir Iech virstellen! Ech wäert d'Freed vun de Lieser net verwinnen a wäert keng Léisung ginn.

Dëst ass eng ganz schéin an ënnerschat Form. regelméisseg octahedron, aus zwou Pyramiden (=Pyramiden) mat enger quadratescher Basis gebaut. Wéi den Numm et scho seet, huet den Octahedron aacht Gesiichter.

Et gi sechs Wirbelen an engem Oktahedron. Et widdersprécht würfeltdéi sechs Gesiichter an aacht Wirbelen huet. D'Kante vu béide Klumpen sinn d'selwecht - all zwielef. Dëst duebel Feststoffer - dat heescht, datt duerch d'Verbindung vun den Zentren vun de Gesiichter vum Kubus mir en Oktahedron kréien, an d'Zentren vun de Gesiichter vum Oktahedron ginn eis e Kubus. Béid vun dëse Bumps performen ("well se mussen") Euler Formule: D'Zomm vun der Zuel vun de Wirbelen an d'Zuel vun de Gesiichter ass 2 méi wéi d'Zuel vun de Kanten.

3. E reguläre Oktahedron an der paralleler Projektioun an en Oktahedrongitter aus Kugelen op esou eng Manéier, datt all Rand véier Kugelen huet.

Aufgab 1. Als éischt, schreift de leschte Saz vum virege Paragraf mat enger mathematesch Formel. Um fig. 3 Dir gesitt en octahedral Gitter, och aus Kugelen. All Rand huet véier Bäll. All Gesiicht ass en Dräieck vun zéng Kugelen. De Problem ass onofhängeg gesat: ass et méiglech Zuelen vun 0 bis 9 an de Kreeser vum Gitter ze setzen, sou datt no engem festen Kierper all Mauer all d'Zuelen enthält (et follegt dat ouni Widderhuelung). Wéi virdrun ass déi gréisste Schwieregkeet an dëser Aufgab wéi de Mesh an e festen Kierper transforméiert gëtt. Ech kann et net schrëftlech erklären, also ginn ech hei och keng Léisung.

4. Zwee icosahedrons aus Ping-Pong Bäll. Notéiert de verschiddene Faarfschema.

schonn Plato (an hien huet am XNUMX.-XNUMX. Joerhonnert v. Chr. gelieft) wousst all déi regulär Polyhedra: Tetrahedron, Cube, Octahedron, dodecahedron i icosahedron. Et ass erstaunlech wéi hien do ukomm ass - kee Bläistëft, kee Pabeier, kee Bleistift, kee Bicher, kee Smartphone, keen Internet! Ech wäert net iwwer den Dodecahedron hei schwätzen. Awer den icosahedral Sudoku ass interessant. Mir gesinn dëse Klump op illustratioun 4a säi Netzwierk fig. 5.

5. Regelméisseg Mesh vum Icosahedron.

Wéi virdrun ass dëst net e Gitter am Sënn an deem mir eis (?!) aus der Schoul erënneren, mee e Wee fir Dräiecke vu Bäll (Bäll) ze pechen.

Aufgab 2. Wéi vill Bäll brauch et fir sou en Icoshedron ze bauen? Gleeft déi folgend Begrënnung nach ëmmer richteg: Well all Gesiicht en Dräieck ass, wann et 20 Gesiichter musse sinn, da sinn esou vill wéi 60 Kugel gebraucht?

6. Gitter vun engem Ikosaeder aus Sphären. All Krees ass, zum Beispill, e Ping-Pong Ball, awer d'Konstruktioun vu Kreeser op Kreeser, déi mat der selwechter Faarf markéiert sinn, fusionéieren an een. Also hu mir zwielef Kugelen (= zwielef Wirbelen: rout, blo, violett, blo an aacht giel).

Et ass einfach ze gesinn datt dräi Zuelen am Ikosahedron net genuch sinn. Méi präzis: et ass onméiglech Wirbelen mat Zuelen 1, 2, 3 opzezielen, sou datt all (dreieckeg) Gesiicht dës dräi Zuelen huet an et keng Widderhuelunge gëtt. Ass et méiglech mat véier Zuelen? Jo et ass méiglech! Loosst eis kucken Reis. 6 an 7.

7. Hei ass wéi Dir d'Kugel nummeréiert, déi den Ikosaeder ausmaachen, sou datt all Gesiicht aner Zuelen enthält wéi 1, 2, 3, 4. Wéi eng vun de Kierper an der Fig. 4 ass esou faarweg?

Aufgab 3. Dräi vun de véier Zuelen kënnen op véier Manéier gewielt ginn: 123, 124, 134, 234. Fannt fënnef esou Dräieck am Ikosedron an der Fig. 7 (wéi och vun Illustratiounen 4).

4 Job (verlaangt ganz gutt raimlech Fantasi). Den Icosahedron huet zwielef Wirbelen, dat heescht datt et aus zwielef Kugel matenee gekollt ka ginn (fig. 7). Bedenkt datt et dräi Wirbelen (= Bäll) mat 1 bezeechent gëtt, dräi mat 2, a sou weider. Also bilden Kugelen vun der selwechter Faarf en Dräieck. Wat ass dësen Dräieck? Vläicht equilateral? Kuckt nach eng Kéier Illustratiounen 4.

Déi nächst Aufgab fir de Grousspapp / Bomi an Enkel / Enkel. D'Elteren kënnen endlech och hir Hand probéieren, awer si brauche Gedold an Zäit.

Aufgab 5. Kaaft zwielef (am léifsten 24) Ping-Pong-Bäll, e puer véier Faarwen, e Pinsel an de richtege Klebstoff - ech recommandéieren net séier wéi Superglue oder Droplet, well se ze séier dréchen a geféierlech fir Kanner sinn. Kleeblatt op den Icosahedron. Kleet Är Enkelin en T-Shirt un, deen direkt duerno gewäsch (oder ewechgehäit gëtt). Deckt den Dësch mat Folie (am léifsten mat Zeitungen). Virsiichteg Faarf der Icosahedron mat véier Faarwen 1, 2, 3, 4, wéi an der Fig. fig. 7. Dir kënnt d'Uerdnung änneren - d'éischt d'Ballone faarwen an se dann gekollt. Zur selwechter Zäit musse kleng Kreeser net gemoolt ginn, sou datt d'Faarwen net un d'Faarf hänken.

Elo ass déi schwéierst Aufgab (méi präzis, hir ganz Sequenz).

6 Job (Méi spezifesch, d'allgemeng Thema). Plot den Icosahedron als Tetrahedron an en Octahedron op Reis. 2 an 3 Dëst bedeit datt et véier Bäll op all Rand solle sinn. An dëser Variant ass d'Aufgab souwuel Zäitopwänneg a souguer deier. Loosst eis ufänken erauszefannen wéivill Bäll Dir braucht. All Gesiicht huet zéng Kugelen, also brauch den Icosahedron zweehonnert? Nee! Mir mussen drun erënneren datt vill Bäll gedeelt ginn. Wéi vill Kanten huet en Icosahedron? Et kann ustrengend berechent ginn, awer wat ass d'Euler Formel fir?

w–k+s=2

wou w, k, s d'Zuel vun de Wirbelen, Kanten a Gesiichter sinn. Mir erënneren eis datt w = 12, s = 20, dat heescht k = 30. Mir hunn 30 Kanten vum Ikosaeder. Dir kënnt et anescht maachen, well wann et 20 Dräiecke sinn, dann hunn se nëmmen 60 Kanten, awer zwee vun hinnen sinn allgemeng.

Loosst eis berechnen wéivill Bäll Dir braucht. An all Dräieck gëtt et nëmmen een internen Ball - weder op der Spëtzt vun eisem Kierper, nach um Rand. Mir hunn also am Ganzen 20 esou Bäll. Et ginn 12 Peaks. All Rand huet zwee net-Vertex Kugelen (si sinn am Rand, awer net am Gesiicht). Well et 30 Kanten sinn, ginn et 60 Marmer, awer zwee vun hinnen sinn gedeelt, dat heescht datt Dir nëmmen 30 Marble braucht, also braucht Dir am Ganzen 20 + 12 + 30 = 62 Marmer. Bäll kënne fir op d'mannst kaaft ginn 50 Penny (normalerweis méi deier). Wann Dir d'Käschte vum Klebstoff derbäi kënnt, kënnt et eraus ... vill. Gutt Kleeblatt erfuerdert e puer Stonnen ustrengend Aarbecht. Zesummen si gëeegent fir entspaant Zäitverdreif - ech recommandéieren se amplaz, zum Beispill, Fernseh kucken.

Réckzuch 1. An dem Andrzej Wajda senger Filmserie Years, Days spillen zwee Männer Schach "well se iergendwéi d'Zäit bis zum Iessen musse verbréngen." Et fënnt zu Galicia Krakau statt. Tatsächlech: d'Zeitunge si scho gelies (deemools haten se 4 Säiten), Fernseh an Telefon sinn nach net erfonnt ginn, et gëtt kee Fussballsmatch. Langweil an de Puddelen. An esou enger Situatioun sinn d'Leit mat Ënnerhalung fir sech selwer komm. Haut hu mir se no der Fernsteierung gedréckt ...

Réckzuch 2. Op der Versammlung 2019 vun der Mathematik Léierverband huet e spuenesche Professer e Computerprogramm demonstréiert deen zolidd Maueren an all Faarf molen kann. Et war e bësse grujheleg, well se nëmmen d'Hänn gezeechent hunn, bal de Kierper ofgeschnidden. Ech hu mir geduecht: wéi vill Spaass kënnt Dir vun esou engem "Schatten" kréien? Alles dauert zwou Minutten, a vun der véierter erënnere mer näischt. Mëttlerweil berouegt a educéiert almoudesch "Nadelaarbecht". Wien net gleeft, loosst hien probéieren.

Loosst eis zréck an dat XNUMXth Joerhonnert an op eis Realitéite goen. Wa mir keng Entspanung wëllen an der Form vun ustrengenden Kleeblatt vu Kugelen, da wäerte mir op d'mannst e Gitter vun engem Ikosaeder zéien, d'Kante vun deenen véier Kugelen hunn. Wéi maachen ech et? Maacht et richteg fig. 6. Den opmierksam Lieser schätzt schonn de Problem:

Aufgab 7. Ass et méiglech d'Bäll mat Zuelen vun 0 bis 9 z'enumeréieren sou datt all dës Zuelen op all Gesiicht vun esou engem Ikosaeder schéngen?

Wat gi mir bezuelt?

Haut stelle mir eis dacks d'Fro vum Zweck vun eisen Aktivitéiten, an de "groe Steierzueler" freet sech firwat hien Mathematiker bezuelen soll fir esou Rätselen ze léisen?

D'Äntwert ass zimlech einfach. Esou "Puzzel", interessant an sech selwer, sinn "e Fragment vun eppes méi sérieux." No all, sinn militäresch Paraden nëmmen en externen, spektakulären Deel vun engem schwieregen Service. Ech ginn nëmmen ee Beispill, mee ech fänken un mat engem komeschen awer international unerkannten mathematesche Fach. 1852 huet en englesche Student säi Professer gefrot, ob et méiglech wier eng Kaart mat véier Faarwen ze faarwen, sou datt d'Nopeschlänner ëmmer a verschiddene Faarwen ugewise ginn? Loosst mech addéieren datt mir net "Noperen" betruechten déi nëmmen op engem Punkt treffen, sou wéi d'Staate vu Wyoming an Utah an den USA. De Professer wousst et net... an de Problem huet iwwer honnert Joer op eng Léisung gewaart.

8. Icosahedron aus RECO Blocks. Blitzreflektoren weisen wat den Icosaëder mam Dräieck a Pentagon gemeinsam huet. Fënnef Dräiecke konvergéieren op all Wirbels.

Et ass op eng onerwaart Manéier geschitt. 1976 huet eng Grupp vun amerikanesche Mathematiker e Programm geschriwwen fir dëse Problem ze léisen (a si hunn decidéiert: jo, véier Faarwen wäerten ëmmer genuch sinn). Dëst war den éischte Beweis vun engem mathematesche Fakt, deen mat Hëllef vun enger "mathematesch Maschinn" kritt gouf - wéi e Computer virun engem hallwe Joerhonnert genannt gouf (an nach méi fréi: "elektronescht Gehir").

Hei ass eng speziell gewisen "Kaart vun Europa" (fig. 9). Déi Länner, déi eng gemeinsam Grenz hunn, sinn ugeschloss. D'Kaart ze faarwen ass d'selwecht wéi d'Kreesser vun dëser Grafik ze faarwen (Grafik genannt), sou datt keng verbonne Kreesser déiselwecht Faarf sinn. E Bléck op Liechtenstein, Belsch, Frankräich an Däitschland weist, datt dräi Faarwen net duergoen. Wann Dir wëllt, Lieser, Faarf et mat véier Faarwen.

9. Wien grenzt mat wiem an Europa?

Ma jo, mä ass et de Steierzueler derwäert? Also loosst eis déiselwecht Grafik e bëssen anescht kucken. Vergiesst datt et Staaten a Grenzen gëtt. Loosst d'Kreesser symboliséieren Informatiounspäck, déi vun engem Punkt op en anert geschéckt ginn (zum Beispill vu P op EST), an d'Segmenter representéieren méiglech Verbindungen, déi all seng eege Bandbreedung hunn. Sou séier wéi méiglech schécken?

Als éischt kucke mer eng ganz vereinfacht, awer och ganz interessant Situatioun aus mathematescher Siicht. Mir mussen eppes vum Punkt S (= als Start) op de Punkt M (= Ofschloss) mat engem Verbindungsnetz mat der selwechter Bandbreed schécken, sot 1. Mir gesinn dat an fig. 10.

10. Netz vun Verbindungen aus Statsyika Zdrój zu Megapolis.

Loosst eis virstellen datt ongeféier 89 Bits vun Informatioun musse vu S op M geschéckt ginn. Den Auteur vun dëse Wierder gär Problemer iwwer Zich, sou datt hien sech virstellt datt hien e Manager bei Stacie Zdrój ass, vu wou hien 144 Waggonen muss schécken. bis Metropolstatioun. Firwat genee 144? Well, wéi mir wäerte gesinn, gëtt dëst benotzt fir den Duerchgang vum ganzen Netz ze berechnen. D'Kapazitéit ass 1 an all Lot, d.h. een Auto kann pro Zäitunitéit passéieren (eng Informatiounsbëss, eventuell och Gigabyte).

Komme mer dofir suergen, datt all Autoen gläichzäiteg am M. Jidderee kënnt an 89 Unitéiten vun Zäit. Wann ech e ganz wichtegen Informatiounspaket vu S op M hunn fir ze schécken, zerbriechen ech et a Gruppen vun 144 Eenheeten a drécken et duerch wéi uewen. D'Mathematik garantéiert datt dëst am schnellsten wäert sinn. Wéi wousst ech datt Dir 89 braucht? Ech hu mer eigentlech gemengt, awer wann ech et net géif roden, muss ech et erausfannen Kirchhoff Equations (Erënnert sech iergendeen? - Dëst sinn Equatiounen déi de Stroum vum Stroum beschreiwen). D'Netzbandbreedung ass 184/89, wat ongeféier d'selwecht ass wéi 1,62.

Iwwer Freed

D'Nummer 144 gefällt mir iwwregens. Ech hu gär mam Bus mat dëser Nummer op d'Schlassplaz zu Warschau gefuer - wann et keng restauréiert kinneklech Buerg niewendrun war. Vläicht wësse jonk Lieser wat eng Dose sinn. Dat sinn 12 Exemplare, awer nëmmen eeler Lieser erënneren sech datt eng Dosen Dosen, d.h. 122=144, dat ass de sougenannte Lot. A jiddwereen dee Mathematik e bësse méi wéi de Schoulprogramm kann, versteet dat direkt fig. 10 mir hunn Fibonacci Zuelen an datt d'Netzbandbreedung no bei der "gëllener Zuel" ass

An der Fibonacci Sequenz ass 144 déi eenzeg Zuel déi e perfekte Quadrat ass. Honnertvéierzeg-véier ass och eng "freedeg Zuel". Dat ass wéi en indeschen Amateur Mathematiker Dattatreya Ramachandra Caprecar 1955 huet hien Zuelen genannt, déi deelbar sinn duerch d'Zomm vun hire konstituerende Zifferen:

Wann hien et wousst Adam Mickiewicz, hien hätt sécherlech Nee an Dzyady geschriwwen: „Vun enger komescher Mamm; säi Blutt ass seng al Helden / A säin Numm ass véierzeg véier, nëmme méi elegant: A säin Numm ass honnert a véierzeg véier.

Huelt Ënnerhalung eescht

Ech hoffen ech hunn d'Lieser iwwerzeegt datt Sudoku Puzzel déi lëschteg Säit vu Froen sinn, déi sécher verdéngen eescht geholl ze ginn. Ech kann dëst Thema net weider entwéckelen. Oh, voll Reseau Bandbreed Berechnung aus dem Diagramm ugebueden op fig. 9 e System vun Equatioune schreiwen géif zwou oder méi Stonnen huelen - vläicht souguer Zénger vu Sekonnen (!) Computer Aarbecht.