Chifferen a Spioun
Am Mathematik Corner vun haut kucken ech op en Thema dat ech um jährleche Science Camp fir Kanner vun der National Children's Foundation diskutéiert hunn. D’Stëftung sicht Kanner a Jugendlecher mat wëssenschaftlechen Interessi. Dir musst net extrem héichbegaabte sinn, awer Dir musst eng "wëssenschaftlech Streck" hunn. Ganz gutt Schoulqualitéite sinn net erfuerderlech. Probéiert et, Dir kënnt et gär hunn. Wann Dir e Senior Primärschoul oder Lycée Student sidd, gëlt. Normalerweis maachen d'Elteren oder d'Schoul d'Rapporte, awer dat ass net ëmmer de Fall. Fannt d'Websäit vun der Fondatioun a gitt eraus.
Et gëtt an der Schoul ëmmer méi iwwer "Kodéierung" geschwat, a bezitt sech op d'Aktivitéit, déi fréier als "Programméiere" bezeechent gouf. Dëst ass eng gemeinsam Prozedur fir theoretesch Educateuren. Si graven al Methoden op, ginn hinnen en neien Numm, a "Fortschrëtter" gëtt vu sech selwer gemaach. Et gi verschidde Beräicher wou esou e zyklesch Phänomen geschitt.
Et kann ofgeschloss ginn datt ech Didaktik devaluéieren. Nee. An der Entwécklung vun der Zivilisatioun komme mir heiansdo zréck op dat wat war, opginn an elo erëmbelieft gëtt. Awer eisen Eck ass mathematesch, net philosophesch.
Zu enger bestëmmter Gemeinschaft gehéieren heescht och "gemeinsame Symboler", gemeinsam Liesungen, Aussoen a Parabelen. Deen, deen d'polnesch Sprooch perfekt geléiert huet "et ass e grousst Déck zu Szczebrzeszyn, e Käfer schwëmmt an de Riet" gëtt direkt als Spioun vun engem frieme Staat ausgesat, wann hien d'Fro net beäntwert, wat de Specht mécht. Natierlech erstéckt hien!
Dëst ass net nëmmen e Witz. Am Dezember 1944 hunn d'Däitschen hir lescht Offensiv an den Ardennen mat grousse Käschte gestart. Si mobiliséiert Zaldoten, déi fléissend Englesch geschwat hunn, fir d'Bewegung vun den alliéierten Truppen ze stéieren, zum Beispill andeems se se an déi falsch Richtung op der Kräizung féieren. No engem Moment vun Iwwerraschung hunn d'Amerikaner ugefaang d'Zaldoten verdächteg Froen ze stellen, d'Äntwerten op déi eng Persoun aus Texas, Nebraska oder Georgia offensichtlech wier an ondenkbar fir een deen net do opgewuess ass. Ignoranz vun de Realitéiten huet direkt zu der Hiriichtung gefouert.
Zum Punkt. Ech recommandéieren de Lieser d'Buch vum Lukasz Badowski an Zaslaw Adamashek "Laboratoire an engem Schreifdësch - Mathematik". Dëst ass e wonnerschéint Buch dat genial weist datt Mathematik wierklech nëtzlech ass fir eppes an datt "Mathematik Experiment" keng eidel Wierder ass. Et enthält ënner anerem de beschriwwenen Bau vum "Karton Rätsel" - en Apparat deen eis nëmme fofzéng Minutten dauert fir ze kreéieren an dee funktionnéiert wéi eng sérieux Chiffermaschinn. D'Iddi selwer war esou bekannt, déi genannten Auteuren hunn et schéin ausgeschafft, an ech wäert se e bëssen änneren an a méi mathematesch Kleeder wéckelen.
hacksaws
Op enger vun de Stroosse vu mengem Dacha-Duerf an de Banlieue vu Warschau gouf den Trëttoir viru kuerzem aus "Trlinka" ofgebaut - sechseckeg Pavéplacken. D'Ride war onwuel, awer d'Séil vum Mathematiker huet sech gefreet. De Fliger mat reegelméissegen (dh reegelméissegen) Polygonen ze decken ass net einfach. Et kann nëmmen Dräieck, Quadraten a regelméisseg Hexagonen sinn.
Vläicht hunn ech e bësse Geck mat dëser spiritueller Freed, awer den Hexagon ass eng schéin Figur. Vun et kënnt Dir e zimlech erfollegräichen Verschlësselungsapparat maachen. Geometrie wäert hëllefen. De Hexagon huet Rotatiounssymmetrie - et iwwerlappt sech selwer wann et ëm e Multiple vu 60 Grad rotéiert gëtt. D'Feld markéiert zum Beispill mam Buschtaf A uewe lénks fig. 1 no duerch dëse Wénkel gedréint, et wäert och an Këscht A falen - an déi selwecht mat anere Buschtawen. Also loosst eis sechs Quadraten aus dem Gitter erausschneiden, all mat engem anere Buschtaf. Mir setzen d'Gitter op dës Manéier op e Blat Pabeier. An de fräie sechs Felder gitt sechs Buschtawen vum Text dee mir verschlëssele wëllen. Loosst eis d'Blat 60 Grad rotéieren. Sechs nei Felder erschéngen - gitt déi nächst sechs Buschtawen vun eisem Message.
Reis. 1. Trlinks vun der Freed vun Mathematik.
Op der richteger Säit fig. 1 mir hunn en Text deen esou encodéiert ass: "Et ass eng rieseg schwéier Damplokomotiv op der Gare."
Elo kënnt e bëssen Schoul Mathematik nëtzlech. Op wéi vill Manéiere kënnen zwou Zuelen relativ zuenee arrangéiert ginn?
Wat eng domm Fro? Fir zwee: entweder eng virun oder déi aner.
exzellent. An dräi Zuelen?
Et ass och net schwéier all d'Astellungen ze lëschten:
123, 132, 213, 231, 312, 321.
Gutt, et ass fir véier! Et kann nach kloer geschriwwe ginn. Guess d'Uerdnungsregel déi ech agefouert hunn:
1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,
1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,
2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,
3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321
Wann d'Ziffere fënnef sinn, kréie mir 120 méiglech Astellungen. Loosst eis se uruffen permutations. D'Zuel vu méigleche Permutatiounen vun n Zuelen ass d'Produkt 1 2 3 ... n, genannt staark a markéiert mat engem Ausrufezeeche: 3!=6, 4!=24, 5!=120. Fir déi nächst Nummer 6 hu mir 6!=720. Mir benotze dëst fir eis sechseckeg Chifferschëld méi komplex ze maachen.
Mir wielen eng Permutatioun vun den Zuelen vun 0 bis 5, zum Beispill 351042. Eis sechseckeg Scrambling Scheif huet e Strich am Mëttelfeld - sou datt et "an der Nullpositioun" gesat ka ginn - e Strich erop, wéi an der Fig. 1. Mir leeën d'Disk esou op e Blat Pabeier, op deem mir eise Bericht schreiwen mussen, awer mir schreiwen en net direkt, mä dréien se dräimol ëm 60 Grad (d.h. 180 Grad) a gitt sechs Buschtawen an déi eidel Felder. Mir ginn zréck an d'Startplaz. Mir dréinen den Ziffer fënnef Mol ëm 60 Grad, dat heescht vu fënnef "Zänn" vun eisem Ziffer. Mir drécken. Déi nächst Skala Positioun ass d'Positioun rotéiert 60 Grad ëm Null. Déi véiert Positioun ass 0 Grad, dëst ass d'Startplaz.
Verstitt Dir wat geschitt ass? Mir hunn eng zousätzlech Geleeënheet - eis "Maschinn" méi wéi siwenhonnert Mol ze komplizéieren! Also, mir hunn zwou onofhängeg Positiounen vum "Automaton" - d'Wiel vum Gitter an d'Wiel vun der Permutatioun. D'Gitter kann op 66 = 46656 Weeër gewielt ginn, Permutatioun 720. Dëst gëtt 33592320 Méiglechkeeten. Iwwer 33 Millioune Chifferen! Bal e bësse manner, well e puer Gitter kënnen net aus Pabeier geschnidden ginn.
Am ënneschten Deel fig. 1 mir hunn e Message kodéiert wéi dës: "Ech schécken Iech véier Fallschiermdivisiounen." Et ass einfach ze verstoen datt de Feind net däerf iwwer dëst wëssen. Awer wäert hien eppes vun dësem verstoen:
TPOROPVMANVEORDISZ
JAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAT
souguer mat Ënnerschrëft 351042?
Mir bauen Enigma, eng däitsch Chiffermaschinn
Reis. 2. E Beispill vum initialen Setup vun eiser Verschlësselungsmaschinn.
Permutations (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).
Wéi ech scho gesot hunn, verdanken ech d'Iddi fir sou eng Kartonmaschinn ze kreéieren dem Buch "Labo an engem Tirang - Mathematik". Meng "Konstruktioun" ass e bëssen anescht wéi dee vun hiren Auteuren.
D'Chiffermaschinn, déi d'Däitschen am Krich benotzt hunn, hat en genial einfache Prinzip, e bësschen ähnlech wéi dee mir mam Hex Chiffer gesinn hunn. All Kéier datselwecht: Paus schwéier Aufgab vun engem Bréif un engem anere Bréif. Et muss ersatbar sinn. Wéi maachen ech et fir Kontroll doriwwer ze hunn?
Loosst eis net all Permutatioun wielen, awer een deen Zyklen vun der Längt huet 2. Einfach gesot, eppes wéi de "Gaderipoluk" hei virun e puer Méint beschriwwen, awer deckt all Buschtawen vum Alphabet. Loosst eis op 24 Buschtawen eens ginn - ouni ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q. Wéi vill esou Permutatiounen? Dëst ass eng Aufgab fir Lycée Graduéierter (si sollen et direkt léisen kënnen). Wéivill? E ganze Koup? E puer dausend? Jo:
1912098225024001185793365052108800000000 (loosst eis net mol probéieren dës Zuel ze liesen). Et gi sou vill Méiglechkeeten fir d'"Null" Positioun ze setzen. An et kann schwéier ginn.
Eis Maschinn besteet aus zwee Ronn Scheiwen. Op ee vun hinnen, deen nach steet, sinn Bréiwer geschriwwen. Et ass e bësse wéi d'Ziffer vun engem alen Telefon, wou Dir eng Nummer geruff hutt andeems Dir den Dial de ganze Wee dréit. Rotary ass déi zweet mat engem Faarfschema. Deen einfachste Wee ass se op engem normale Kork mat engem Pin ze setzen. Amplaz vu Kork kënnt Dir e dënnen Brett oder décke Karton benotzen. De Lukasz Badowski an den Zasław Adamaszek recommandéieren déi zwee Discs an eng CD-Box ze setzen.
Stellt Iech vir, mir wëllen d'Wuert ARMATY (Reis. 2 an 3). Setzt den Apparat op Nullpositioun (Pfeil erop). De Buschtaf A entsprécht F. Rotéiert den internen Circuit e Buschtaf no riets. Mir hunn de Buschtaf R fir ze codéieren, elo entsprécht en A. No der nächster Rotatioun gesi mir datt de Buschtaf M entsprécht U. Déi nächst Rotatioun (véiert Diagramm) gëtt d'Korrespondenz A - P. Um fënneften Zifferen hu mir T. - A. Schlussendlech (sechste Krees ) Y – Y De Feind wäert wahrscheinlech net roden datt eis CFCFAs fir hien geféierlech sinn. A wéi wäert "eis" d'Versendung liesen? Si mussen déi selwecht Maschinn hunn, déi selwecht "programméiert", dat heescht mat der selwechter Permutatioun. De Chiffer fänkt un der Nullpositioun un. Also de Wäert vum F ass A. D'Ziffer no Auer dréien. De Buschtaf A gëtt elo mam R verbonnen. Hien dréit den Ziffer no riets an ënner dem Buschtaf U fënnt de M, etc. De Chifferschëff leeft bei de Generol: "General, ech mellen mech, d'Waffen kommen!"
Reis. 3. De Prinzip vun der Operatioun vun eisem Pabeier Enigma.
| Reis. 3. De Prinzip vun der Operatioun vun eisem Pabeier Enigma. | ||
D'Méiglechkeete vu souguer sou engem primitive Enigma sinn erstaunlech. Mir kënnen aner Ausgangspermutatiounen wielen. Mir kënnen - an et ginn nach méi Méiglechkeeten hei - net vun engem "Serif" reegelméisseg, mä an enger bestëmmter, alldeeglecher Ännerung, ähnlech wéi engem Hexagon (zum Beispill, éischt dräi Buschtawen, dann siwen, dann aacht, véier ... .. etc. .).
Wéi kënnt Dir roden?! An awer fir polnesch Mathematiker (Marian Reevski, Henryk vun Zigalski, Ezhi Ruzicki) geschitt ass. D'Informatioun esou kritt war wäertvoll. Virdrun haten si e gläich wichtege Bäitrag zur Geschicht vun eiser Verteidegung. Vaclav Sierpinski i Stanislav Mazurkevichdeen de Code vun de russeschen Truppen am Joer 1920 verletzt huet. Den ofgefaangen Kabel huet dem Piłsudski d'Méiglechkeet de berühmte Manöver vum Vepsz River ze maachen.
Ech erënnere mech un de Vaslav Sierpinski (1882-1969). Hie schéngt wéi e Mathematiker fir deen d'Äussewelt net existéiert. Hie konnt net iwwer seng Participatioun un der Victoire am Joer 1920 schwätzen, souwuel aus militäreschen a ... aus politesche Grënn (d'Autoritéite vun der polnescher Volleksrepublik hunn net gär déi, déi eis vun der Sowjetunioun verdeedegt hunn).
Reis. 4. Permutatioun (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).
Reis. 5. Schéin Dekoratioun, awer net gëeegent fir Verschlësselung. Ze regelméisseg.
Aufgab 1. Na fig. 4 Dir hutt eng aner Permutatioun fir Enigma ze kreéieren. Kopéiert d'Zeechnung op den Xerograph. Baut en Auto, kodéiert Ären Virnumm a Virnumm. Meng CWONUE JTRYGT. Wann Dir musst Är Notizen privat halen, benotzt Cardboard Enigma.
Aufgab 2. Verschlësselt Ären Numm an Äre Familljennumm vun engem vun den "Autoen" déi Dir gesinn hutt, awer (Opmierksamkeet!) mat enger zousätzlecher Komplikatioun: mir dréinen net eng Notch no riets, awer no dem Schema {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - dat ass, éischt vun eent, dann vun zwee, dann vun dräi, dann vun 2, dann erëm vun 1, dann vun 2, etc., sou eng "Wavelet" . Vergewëssert Iech datt mäi Virnumm an de Familljennumm als CZTTAK SDBITH verschlësselt sinn. Elo verstitt Dir wéi mächteg d'Enigma Maschinn war?
Problemléisung fir Lycée Graduéierter. Wéi vill Konfiguratiounsoptioune fir Enigma (an dëser Versioun, wéi am Artikel beschriwwen)? Mir hunn 24 Buschtawen. Mir wielt déi éischt Paar Bréiwer - dëst kann op gemaach ginn
Weeër. Déi nächst Pair kann op gewielt ginn
Weeër, méi
etc. No der entspriechend Berechnungen (all Zuelen muss multiplizéiert ginn), mir kréien
151476660579404160000
Da deelt dës Zuel mat 12! (12 Faktorial), well déi selwecht Puer kënnen an enger anerer Uerdnung kritt ginn. Also um Enn kréie mir "total"
316234143225,
dat si just iwwer 300 Milliarden, wat fir déi haiteg Supercomputer net eng iwwerraschend grouss Zuel schéngt. Wann awer déi zoufälleg Uerdnung vun den Permutatiounen selwer berücksichtegt gëtt, erhéicht dës Zuel wesentlech. Mir kënnen och un aner Zorte vu Permutatiounen denken.
Kuckt och:
