Rees an déi onreal Welt vun der Mathematik

Ech hunn dësen Artikel an engem vun den Ëmfeld geschriwwen, no engem Virtrag a Praxis an engem College vun Informatik. Ech verteidegen mech virun der Kritik un de Schüler vun dëser Schoul, hiert Wëssen, d'Haltung zu der Wëssenschaft an, virun allem, hir Léierfäegkeeten. Dëst ... kee léiert hinnen.

Firwat sinn ech sou defensiv? Aus engem einfache Grond - ech sinn an engem Alter wou wahrscheinlech d'Welt ronderëm eis nach net verstanen ass. Vläit léieren ech hinnen, Päerd z'entspanen an auszestellen, an net mat engem Auto ze fueren? Vläicht léieren ech hinnen mat engem Quill Pen ze schreiwen? Och wann ech eng besser Meenung vun enger Persoun hunn, betruecht ech mech als "folgend", awer ...

Bis viru kuerzem hu si am Lycée iwwer komplex Zuelen geschwat. An et war dëse Mëttwoch, datt ech heem komm sinn, opginn - bal kee vun de Schüler huet nach geléiert wat et ass a wéi dës Zuelen ze benotzen. E puer kucken all Mathematik wéi eng Gäns op eng gemoolt Dier. Awer ech war och wierklech iwwerrascht wéi se mir gesot hunn wéi ech léieren. Einfach gesot, all Stonn vun engem Virtrag ass zwou Stonne Hausaufgaben: e Léierbuch liesen, léiere wéi een Probleemer zu engem bestëmmten Thema léist, asw. Nodeems mir op dës Manéier virbereet sinn, komme mir op d'Übungen, wou mir alles verbesseren ... Agreabel hunn d'Schüler, anscheinend, geduecht datt d'Sëtzung um Virtrag - meeschtens duerch d'Fënster kucken - schonn d'Entrée vum Wëssen an de Kapp garantéiert.

Stop! Genuch vun dësem. Ech wäert meng Äntwert op eng Fro beschreiwen, déi ech an engem Cours mat Stipendien aus dem Fonds national de Kanner krut, eng Institutioun déi talentéiert Kanner aus dem ganze Land ënnerstëtzt. D'Fro (oder éischter de Virschlag) war:

- Kënnt Dir eis eppes iwwer onreal Zuelen soen?

"Natierlech," hunn ech geäntwert. 

D'Realitéit vun Zuelen

"E Frënd ass en anere mir, Frëndschaft ass d'Verhältnis vun den Zuelen 220 an 284," sot de Pythagoras. De Punkt hei ass datt d'Zomm vun den Divisoren vun der Nummer 220 284 ass, an d'Zomm vun den Divisoren vun der Nummer 284 ass 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

En aneren interessanten Zoufall tëscht den Zuelen 220 an 284 ass dëst: déi siwwenzéng héchste Primzuelen sinn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, an 59.

Hir Zomm ass 2x220, an d'Zomm vun de Quadraten ass 59x284.

Éischten. Et gëtt kee Konzept vun "real Zuel". Et ass wéi wann Dir en Artikel iwwer Elefanten gelies hutt, Dir frot: "Elo froe mir fir Net-Elefanten." Et gi ganz an net ganz, rational an irrational, awer et gi keng onreal. Speziell: Zuelen déi net real sinn, ginn net ongëlteg genannt. Et gi vill Aarte vu "Zuelen" an der Mathematik, a si ënnerscheede sech vuneneen, wéi - fir en zoologesche Verglach ze huelen - en Elefant an en Äerdworm.

Zweetens wäerte mir Operatiounen ausféieren, déi Dir scho wësst, si verbueden: d'Quadratwurzelen vun negativen Zuelen extrahéieren. Gutt, Mathematik wäert esou Barrièren iwwerwannen. Maacht et awer Sënn? An der Mathematik, wéi an all aner Wëssenschaft, hänkt ob eng Theorie fir ëmmer an de Repository vu Wëssen erakënnt ... vu senger Uwendung of. Wann et nëtzlos ass, da schléit et am Dreck, dann an e puer Dreckstipp vun der Wëssensgeschicht. Ouni d'Zuelen, iwwer déi ech um Enn vun dësem Artikel schwätzen, ass et onméiglech Mathematik z'entwéckelen. Mee loosst eis mat e puer kleng Saachen ufänken. Wat sinn real Zuelen, Dir wësst. Si fëllen d'Zuellinn dicht an ouni Lücken. Dir wësst och wat natierlech Zuelen sinn: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - se passen net all an Erënnerung souguer déi gréisste. Si hunn och e schéinen Numm: natierlech. Si hunn esou vill interessant Eegeschaften. Wéi gefällt dir dat:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

"Et ass natierlech fir déi natierlech Zuelen ze interesséieren", sot de Karl Lindenholm, an de Leopold Kronecker (1823-1891) huet et präzis gesot: "Gott huet déi natierlech Zuelen erschaf - alles anescht ass d'Aarbecht vum Mënsch!" Fraktiounen (genannt rational Zuelen vu Mathematiker) hunn och erstaunlech Eegeschaften:

an der Gläichheet:

Dir kënnt, vun der lénker Säit unzefänken, d'Plus reiben an se duerch Multiplikatiounszeechen ersetzen - an d'Gläichheet bleift richteg:

An esou weider.

Wéi Dir wësst, fir Fraktiounen a/b, wou a a b ganz Zuelen sinn, a b ≠ 0, soen se rational Zuel. Awer nëmmen op polnesch nennen se sech dat. Si schwätzen Englesch, Franséisch, Däitsch a Russesch. rational Zuel. Op Englesch: rational Zuelen. Irrational Zuelen et ass irrational, irrational. Mir schwätzen och polnesch iwwer irrational Theorien, Iddien an Doten - dat ass Wahnsinn, imaginär, onerklärbar. Si soen datt Frae Angscht virun Mais hunn - ass dat net sou irrational?

An antik Zäiten haten d'Zuelen eng Séil. Jiddereen huet eppes gemengt, jidderee symboliséiert eppes, jidderee reflektéiert e Partikel vun där Harmonie vum Universum, dat heescht op Griichesch, de Kosmos. Dat ganzt Wuert "Kosmos" heescht genee "Uerdnung, Uerdnung". Déi wichtegst waren sechs (déi perfekt Zuel) an zéng, d'Zomm vun de konsekutiv Zuelen 1 + 2 + 3 + 4, aus aneren Zuelen, deenen hir Symbolik bis haut iwwerlieft huet. Also de Pythagoras huet geléiert datt d'Zuelen den Ufank an d'Quell vun allem sinn, an nëmmen d'Entdeckung irrational Zuelen huet d'Pythagorean Bewegung an d'Geometrie gedréint. Mir kennen d'Begrënnung aus der Schoul dat

√2 ass eng irrational Zuel

Well ugeholl datt et gëtt: an datt dës Fraktioun net reduzéiert ka ginn. Besonnesch souwuel p wéi och q sinn komesch. Loosst eis Quadrat: 2q²=p². D'Zuel p kann net komesch sinn, well dann p² wier och, an déi lénks Säit vun der Gläichheet ass e Multiple vun 2. Dofir ass p egal, dh p = 2r, also p²= 4r². Mir reduzéieren d'Equatioun 2q²= 4r² vun 2. Mir kréien q²= 2r² a mir gesinn datt q och gläich muss sinn, wat mir ugeholl hunn ass net sou. Déi resultéierend Widdersproch fäerdeg de Beweis - dës Formel kann dacks an all mathematesche Buch fonnt ginn. Dësen Ëmstänn Beweis ass e Liiblingstrick vun de Sophisten.

Dës Onmass konnt d'Pythagoreer net verstane ginn. Alles muss mat Zuelen beschriwwe kënne ginn, an d'Diagonal vun engem Quadrat, dee jidderee mat engem Stéck iwwer de Sand zéie kann, huet keng, also moossbar, Längt. "Eise Glawen war vergeblech", schéngen d'Pythagoreer ze soen. Wéi dann? Et ass eng Aart ... irrational. D'Unioun huet probéiert sech duerch sektaresch Methoden ze retten. Jiddereen deen sech traut seng Existenz ze verroden irrational Zuelen, soll mam Doud bestrooft ginn, an anscheinend gouf den éischte Saz vum Meeschter selwer gemaach.

Awer "de Gedanke ass ongeschaaft." D'Golden Zäitalter ass ukomm. D'Griichen hunn d'Perser besiegt (Marathon 490, Block 479). D'Demokratie gouf gestäerkt, nei Zentren vum philosopheschen Denken an nei Schoulen entstanen. D'Pythagoreer hunn nach ëmmer mat irrationalen Zuelen gekämpft. E puer hunn gepriedegt: Mir wäerten dëst Geheimnis net begräifen; mir kënnen nëmmen iwwer Uncharted iwwerdenken a bewonneren. Déi lescht ware méi pragmatesch an hunn d'Mystery net respektéiert. Zu där Zäit koumen zwee mental Konstruktiounen op, déi et méiglech gemaach hunn irrational Zuelen ze verstoen. D'Tatsaach, datt mir se haut zimlech gutt verstinn, gehéiert dem Eudoxus (XNUMX. Joerhonnert v. Chr.), an et war eréischt um Enn vum XNUMX. Joerhonnert, datt den däitsche Mathematiker Richard Dedekind der Theorie vum Eudoxus déi richteg Entwécklung am Aklang mat den Ufuerderunge vum strenge mathematesch Logik.

Mass vu Figuren oder Folter

Kënnt Dir ouni Zuelen liewen? Och wa wat d'Liewen wier ... Mir mussen an de Buttek goen fir Schong mat engem Staang ze kafen, déi mir virdrun d'Längt vum Fouss gemooss hunn. "Ech hätt gär Äppel, ah, hei ass et!" - mir géifen Verkeefer um Maart weisen. "Wéi wäit ass et vu Modlin op Nowy Dwur Mazowiecki"? "Zimlech no!"

Zuele gi benotzt fir ze moossen. Mat hirer Hëllef drécke mir och vill aner Konzepter aus. Zum Beispill weist d'Skala vun der Kaart wéi vill d'Fläche vum Land erofgaang ass. Eng zwee-zu-een Skala, oder einfach 2, dréckt d'Tatsaach aus datt eppes verduebelt gouf. Loosst eis mathematesch soen: all Homogenitéit entsprécht enger Zuel - seng Skala.

Aufgab. Mir hunn eng xerographesch Kopie gemaach, d'Bild e puer Mol vergréissert. Dunn ass de vergréissert Fragment nees b mol vergréissert ginn. Wat ass déi allgemeng Vergréisserungsskala? Äntwert: a × b multiplizéiert mat b. Dës Skalen musse multiplizéiert ginn. D'Zuel "Minus eent", -1, entsprécht enger Präzisioun déi zentréiert ass, dh 180 Grad rotéiert. Wéi eng Zuel entsprécht engem 90 Grad Wendung? Et gëtt keng esou Zuel. Et ass, et ass ... oder éischter, et wäert geschwënn sinn. Sidd Dir prett fir moralesch Folter? Huelt Courage an huelt d'Quadratwurz vu Minus eent. Ech lauschteren? Wat kënnt Dir net? No allem hunn ech Iech gesot datt Dir dapere sidd. Pull et eraus! Hey, bon, zéien, zéien... Ech hëllefen... Hei: -1 Elo wou mer et hunn, probéiere mer et ze benotzen ... Natierlech kënne mir elo d'Wuerzelen vun all negativen Zuelen extrahéieren, fir Beispill.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"Onofhängeg vun der mentaler Angscht déi et enthält." Dëst ass wat de Girolamo Cardano am Joer 1539 geschriwwen huet, a probéiert déi mental Schwieregkeeten ze iwwerwannen, déi verbonne sinn - wéi et geschwënn genannt gouf - imaginär Quantitéiten. Hien huet dës ...

...Aufgab. Deelen 10 an zwee Deeler, de Produit vun deem ass 40. Ech erënnere mech, datt hien aus der viregter Episod esou eppes geschriwwen huet: Bestëmmt onméiglech. Loosst eis awer dat maachen: deelen 10 an zwee gläich Deeler, jidderee gläich 5. Multiplizéieren se - et huet sech erausgestallt 25. Vun der resultéierender 25 subtrahéiert elo 40, wann Dir wëllt, an Dir kritt -15. Kuckt elo: √-15 addéiert a subtrahéiert vu 5 gëtt de Produkt vun 40. Dëst sinn d'Zuelen 5-√-15 a 5 + √-15. D'Verifizéierung vum Resultat gouf vum Cardano duerchgefouert wéi follegt:

"Onofhängeg vun der Häerzschmerz, déi et enthält, multiplizéieren 5 + √-15 mat 5-√-15. Mir kréien 25 - (-15), wat gläich ass 25 + 15. Also, de Produit ass 40 .... Et ass wierklech schwéier."

Gutt, wéi vill ass: (1 + √-1) (1-√-1)? Loosst eis multiplizéieren. Denkt drun datt √-1 × √-1 = -1. Super. Elo eng méi schwéier Aufgab: vun a + b√-1 op ab√-1. Wat ass geschitt? Sécher, wéi dëst: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Wat ass interessant doriwwer? Zum Beispill, d'Tatsaach datt mir Ausdréck kënne faktoriséieren, déi mir "virdrun net wossten." Déi verkierzte Multiplikatiounsformel fir²-b² Erënneren Dir d'Formel fir²+b² et war net, well et kéint net sinn. Am Beräich vun reellen Zuelen, de Polynom²+b² et ass onvermeidlech. Loosst eis "eis" Quadratwurzel vun "Minus eent" mam Buschtaf i bezeechnen.²= -1. Et ass eng "onreal" Primzuel. An dat ass wat en 90 Grad Wendung vun engem Fliger beschreift. Firwat? Schliisslech,²= -1, a kombinéiert eng 90-Grad Rotatioun an eng aner 180-Grad Rotatioun gëtt eng 45-Grad Rotatioun. Wéi eng Zort Rotatioun gëtt beschriwwen? Natierlech eng XNUMX Grad Wendung. Wat heescht den -i? Et ass e bësse méi komplizéiert:

(-ech)² = -i × (-i) = + i² = -1

Also -i beschreift och eng 90 Grad Rotatioun, just an der Géigendeel Richtung vun der Rotatioun vun i. Wéi eng ass lénks a wéi eng ass richteg? Dir musst e Rendez-vous maachen. Mir huelen un datt d'Zuel i eng Rotatioun spezifizéiert an eng Richtung déi Mathematiker als positiv betruechten: Géigewier. D'Zuel -i beschreift d'Rotatioun an d'Richtung wou d'Zeiler sech bewegen.

Awer existéieren Zuele wéi i an -i? Sidd! Mir hunn se just zum Liewen bruecht. Ech lauschteren? Datt se nëmmen an eisem Kapp existéieren? Gutt wat ze erwaarden? All aner Zuelen existéieren och nëmmen an eisem Geescht. Mir musse kucken ob eis Neigebuerenzuelen iwwerliewen. Méi präzis, ob den Design logesch ass an ob se fir eppes nëtzlech sinn. Huelt w.e.g. mäi Wuert fir datt alles an der Rei ass an datt dës nei Zuele wierklech hëllefräich sinn. Zuelen wéi 3+i, 5-7i, méi allgemeng: a+bi gi komplex Zuelen genannt. Ech hunn Iech gewisen wéi Dir se kritt andeems Dir de Fliger dréit. Si kënnen op verschidde Manéieren agefouert ginn: als Punkten an engem Fliger, als e puer Polynomen, als eng Zort numeresch Arrays ... an all Kéier sinn se d'selwecht: d'Equatioun x² +1=0 et gëtt keen Element... Hokus Pokus ass schonn do!!!! Komm mir freeën eis a freeën eis!!!

Enn vum Tour

Dëst schléisst eisen éischten Tour duerch d'Land vu falschen Zuelen of. Vun deenen aneren onerdesche Zuelen, wäert ech och déi ernimmen, déi eng onendlech Zuel vun Ziffere virun hunn, an net hannert (si ginn 10-adic genannt, fir eis sinn p-adic méi wichteg, wou p eng Primzuel ass), fir Beispill X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Loosst eis X zielen wann ech glift². Well? Wat wa mir de Quadrat vun enger Zuel berechnen, gefollegt vun enger onendlecher Zuel vun Zifferen? Ma, loosst eis datselwecht maachen. Mir wëssen dat x² = H.

Loosst eis eng aner sou Zuel fannen mat enger onendlecher Zuel vun Ziffere virun, déi d'Gleichung entsprécht. Hiweis: de Quadrat vun enger Zuel déi op sechs endet, endet och op sechs. De Quadrat vun enger Zuel, déi op 76 endet, endet och op 76. De Quadrat vun enger Zuel, déi op 376 endet, endet och op 376. De Quadrat vun enger Zuel, déi op 9376 endet, endet och op 9376. De Quadrat vun enger Zuel, déi op XNUMX endet. XNUMX op… Et ginn och Zuelen déi sou kleng sinn datt se positiv sinn, si méi kleng bleiwen wéi all aner positiv Zuel. Si si sou kleng datt et heiansdo genuch ass fir se ze quadratéieren fir Null ze kréien. Et ginn Zuelen déi d'Konditioun a × b = b × a net erfëllen. Et ginn och onendlech Zuelen. Wéi vill natierlech Zuelen ginn et? Onendlech vill? Jo, awer wéi vill? Wéi kann dat als Zuel ausgedréckt ginn? Äntwert: déi klengst vun onendlech Zuelen; et ass mat engem schéine Buschtaf markéiert: A an ergänzt mat engem Nullindex A₀ , aleph-null.

Et ginn och Zuelen, déi mir net wëssen, datt se existéieren ... oder déi Dir kënnt gleewen oder net gleewen wéi Dir wëllt. A schwätzt vun der ähnlecher: Ech hoffen, datt Dir ëmmer nach Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers gefällt.