Firwat deele mir net mat Null?
Inhalt
D'Lieser kënnen sech froen, firwat ech e ganzen Artikel sou eng banal Fro widmen? De Grond ass déi iwwerraschend Zuel vu Studenten (!) déi d'Operatioun ënner dem Numm zoufälleg ausféieren. An net nëmmen Studenten. Heiansdo fänken ech an Enseignanten. Wat kënnen d'Schüler vun esou Enseignanten an der Mathematik maachen? Den direkten Grond fir dësen Text ze schreiwen war e Gespréich mat engem Enseignant fir deen d'Divisioun duerch Null kee Problem war ...
Mat Null, jo, ausser dem Sträit vu guer näischt, well mir et net wierklech am Alldag brauchen. Mir ginn net fir Null Eeër akafe. "Et gëtt eng Persoun am Raum" kléngt iergendwéi natierlech, an "Null Leit" kléngt kënschtlech. Linguisten soen datt Null ausserhalb vum Sproochesystem ass.
Mir kënnen och ouni Null op Bankkonten maachen: benotzt just - wéi op engem Thermometer - rout a blo fir positiv an negativ Wäerter (notéiert datt fir Temperatur et natierlech ass fir rout fir positiv Zuelen ze benotzen, a fir Bankkonten et ass ëmgedréint, well d'Debet soll eng Warnung ausléisen, also rout ass héich recommandéiert).
Andeems mir Null als natierlech Zuel enthalen, beréieren mir de Problem vun der Differenzéierung Kardinal Zuelen od Stot. An 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….
d'Muecht vun der Zuel ass d'selwecht wéi d'Zuel vun der Plaz wou se steet. Soss ass et schonn an der Sequenz 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….
D'Zuel vun de Singleton-Sets kënnt zweet, d'Zuel vun de Sätz mat zwee Elementer kënnt drëtt, a sou weider. Mir mussen erkläre firwat mir zum Beispill d'Plazen vun den Athleten net vun Null un nummeréieren. Da kritt de Gewënner vun der éischter Plaz eng Sëlwermedail (Gold goung un den Null-Plaz Gewënner), a sou weider. Am Fussball gouf e bëssen ähnlech Prozedur benotzt - ech weess net ob d'Lieser wëssen datt "Liga XNUMX" heescht " no de beschte." ", an d'Nullliga gëtt genannt fir d'"Major League" ze ginn.
Heiansdo héiere mir d'Argument datt mir vun Null ufänken mussen, well et fir IT Leit bequem ass. Fir dës Considératiounen weiderzeféieren, soll d'Definitioun vun engem Kilometer geännert ginn - et soll 1024 m sinn, well dëst ass d'Zuel vun de Bytes an engem Kilobyte (ech wäert op e Witz bezéien, deen d'Informatiker bekannt ass: "Wat ass den Ënnerscheed tëscht engem Freshman an e Student vun der Informatik an e Student vum fënnefte Joer vun dëser Fakultéit? datt e Kilobyte 1000 Kilobyte ass, dee leschte - datt e Kilometer 1024 Meter ass")!
En anere Standpunkt, dee schonn eescht geholl soll ginn, ass: Mir moossen ëmmer vun Null! Et ass genuch fir all Skala op der Lineal ze kucken, op Haushaltsskalen, souguer op der Auer. Well mir vun Null moossen, a zielen kann als Miessung mat enger Dimensiounsloser Eenheet verstane ginn, da sollte mir vun Null zielen.
Et ass eng einfach Saach, awer ...
Loosst d'allgemeng Begrënnung verloossen an zréck op Divisioun vun Null. D'Saach ass einfach an et wier einfach wann et net fir ... also wat? Loosst eis denken a probéieren. Wéi vill kann et sinn - een duerch Null gedeelt? Loosst eis kucken: 1/0 = x. Multiplizéiert béid Säiten mam Nenner vun der lénker Säit.
Mir kréien 1=0. Eppes ass falsch! Wat ass geschitt? Ah denken! D'Annahme datt et e Quotient vun Eenheet an Null gëtt féiert zu enger Widdersproch. A wann een net duerch Null gedeelt ka ginn, da kann eng aner Zuel. Wann Dir, Lieser, d'Schëlleren ophëlt a sech freet, firwat den Auteur (dat heescht, ech) iwwer esou Platituden schreift, da ... ech si ganz frou!
D'Formel 0/0 = 0 kéint op haartnäckege Basis verdeedegt ginn, awer et widdersprécht d'Regel datt d'Resultat fir eng Zuel vu sech selwer ze deelen gläich ass mat engem. Absolut, awer ganz anescht sinn esou Symboler wéi 0/0, °/° an dergläiche am Berechnung. Si bedeiten keng Zuel, awer si symbolesch Bezeechnunge fir bestëmmte Sequenze vu bestëmmten Typen.
An engem Elektrotechnikbuch hunn ech en interessante Verglach fonnt: d'Divisioun vun Null ass grad esou geféierlech wéi Héichspannungsstroum. Dat ass normal: Ohms Gesetz seet datt d'Verhältnis vu Spannung zu Resistenz dem Stroum gläich ass: V = U / R. Wann d'Resistenz null wier, géif en theoretesch onendleche Stroum duerch den Dirigent fléissen, an all méiglech Dirigenten verbrennen.
Ech hunn eemol e Gedicht geschriwwen iwwer d'Gefore fir all Dag vun der Woch mat Null ze deelen. Ech erënnere mech drun, datt deen dramateschsten Dag Donneschdeg war, awer et ass schued fir all meng Aarbecht an dësem Beräich.
Wann Dir eppes mat Null deelt
Ganz fréi Méindeg
Woch wat just geschitt ass
Du hues scho schlëmm gescheitert.
Wéini Dënschdeg Mëtteg
Dir setzt Null am Nenner
Ech soen Iech dann, Dir sidd falsch
Schlechte Mathematiker!
Wann duerch Null, duerch Perversioun,
Wëllt e Mëttwoch trennen
Dir wäert vill Schwieregkeeten kréien
Dir hutt Heu a Waasser am Kapp!
E gewësse Bartek war bei eis.
Hie war géint d'Regelen.
En Donneschdeg ass et duerch Null deelbar.
Hien ass net méi tëscht eis!
Wann e komeschen Wonsch hëlt Iech
Deelen vun null um Freideg
Ech wäert éierlech sinn, ech wäert éierlech sinn:
Schlechten Ufank vun dësem Weekend.
Wann et null ass, iergendwou um Samschdeg
Den Divider wäert ären sinn (net fett)
Knéien ënnert dem Kierchefënster.
Dëst ass Är Operstéiungszeen.
Wëllt Dir Null ënner dem Bindestrich,
Maacht e Sonndeg e Feierdag
Bréngt Kräid, schwaarze Bord.
Schreift: et ass net deelbar mat Null!
Null ass mat Leerheet an Näischt verbonnen. Tatsächlech ass hien an d'Mathematik komm als eng Quantitéit déi, wann se derbäigesat gëtt, se net ännert: x + 0 = x. Awer elo erschéngt Null a verschiddenen anere Wäerter, virun allem als Skala ufänken. Wann dobaussen der Fënster weder positiv Temperatur nach Frost ass, dann ... dat ass null, wat net heescht datt et guer keng Temperatur ass. En Nullklass-Monument ass net een dat scho laang ofgerappt gëtt an et einfach net gëtt. Am Géigendeel, et ass eppes wéi de Wawel, den Eiffeltuerm an d'Fräiheetsstatue.
Gutt, d'Wichtegkeet vun Null an engem Positiounssystem kann kaum iwwerschätzt ginn. Wësst Dir, Lieser, wéivill Nullen huet de Bill Gates op sengem Bankkonto? Ech weess et net, mee ech hätt gär d'Halschent. Anscheinend huet den Napoléon Bonaparte gemierkt datt d'Leit wéi Nullen sinn: si kréien Bedeitung duerch Positioun. Am Andrzej Wajda sengem As the Years, As the Days Pass explodéiert de passionéierte Kënschtler Jerzy: "Philister ass null, nihil, näischt, näischt, nihil, null." Awer Null ka gutt sinn: "Null Ofwäichung vun der Norm" heescht datt alles gutt leeft, a bleift weider!
Komme mer zréck op d'Mathematik. Null kann mat Impunitéit dobäigesat, subtrahéiert a multiplizéiert ginn. "Ech hunn null Kilogramm gewonnen," seet Manya zu Anya. "An dat ass interessant, well ech datselwecht Gewiicht verluer hunn", äntwert Anya. Also loosst eis sechs Null Portiounen Glace sechs Mol iessen, et wäert eis net schueden.
Mir kënnen net mat Null deelen, awer mir kënnen duerch Null deelen. Eng Plack vun Null Knëppel kann einfach un déi ausgedeelt ginn, déi op Iessen waarden. Wéi vill wäert jidderee kréien?
Null ass net positiv oder negativ. Dëst an d'Zuel net-positivи net negativ. Et erfëllt d'Inegalitéiten x≥0 an x≤0. De Widdersproch "eppes Positives" ass net "eppes Negativ", mee "eppes negativ oder gläich op Null". Mathematiker, am Géigesaz zu de Regele vun der Sprooch, wäerten ëmmer soen datt eppes "gläich Null" ass an net "Null". Fir dës Praxis ze justifiéieren, hu mir: wa mir d'Formel liesen x = 0 "x ass gläich Null" dann x = 1 liese mir "x ass gläich wéi een", wat kéint geschluecht ginn, awer wéi ass et mat "x = 1534267" ? Dir kënnt och de Charakter 0 net en numeresche Wäert zouginn0och net null op eng negativ Muecht erhéijen. Op der anerer Säit, kënnt Dir Null op Wëllen root ... an d'Resultat wäert ëmmer Null sinn.
Exponentiell Funktioun y = ax, déi positiv Basis vun engem, gëtt ni null. Et follegt datt et keen Nulllogarithmus gëtt. Tatsächlech ass de Logarithmus vun a op d'Basis b den Exponent, op deen d'Basis eropgeet fir de Logarithmus vun a ze kréien. Fir a = 0 gëtt et keen esou Indikator, an Null kann net d'Basis vum Logarithmus sinn. Wéi och ëmmer, den Null am "Nenner" vum Newton säi Symbol ass eppes anescht. Mir ginn dovun aus, datt dës Konventiounen net zu enger Widdersproch féieren.
falsch Beweiser
Divisioun duerch Null ass e gemeinsamt Thema fir falsch Beweiser, an et geschitt souguer mat erfuerene Mathematiker. Loosst mech Iech zwee vu menge Liiblingsbeispiller ginn. Déi éischt ass algebraesch. Ech wäert "beweisen" datt all Zuelen gläich sinn. Ugeholl et ginn zwou Zuelen déi net gläich sinn. Dofir ass eng vun hinnen méi grouss wéi déi aner, loosst a > b. Loosst eis unhuelen datt c hiren Ënnerscheed ass
c \uXNUMXd a-b. Also hu mir a - b = c, wouvun a = b + c.
Mir multiplizéieren déi zwee Deeler vun der leschter mat a - b:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
Ech iwwersetzen ak op déi lénks Säit, natierlech erënnere mech un d'Verännerung vum Schëld:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
Ech ausschléissen gemeinsam Faktoren:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
Ech deelen an ech hunn wat ech wollt:
a = b.
An eigentlech nach méi komesch, well ech ugeholl hunn, datt a > b, an ech krut dat a = b. Wann am Beispill hei uewen "Fuddelen" einfach ze erkennen ass, dann ass et am geometresche Beweis hei ënnen net sou einfach. Ech wäert beweisen datt ... den Trapez net existéiert. D'Figur allgemeng als Trapezoid genannt gëtt et net.
Awer ugeholl als éischt datt et sou eppes wéi en Trapezoid ass (ABCD an der Figur hei drënner). Et huet zwou parallel Säiten ("Basis"). Loosst eis dës Basen ausdehnen, wéi am Bild gewisen, sou datt mir e Parallelogramm kréien. Seng Diagonaler trennen déi aner Diagonal vum Trapezoid a Segmenter, deenen hir Längt x, y, z bezeechent ginn, wéi an Figur 1. Vun der Ähnlechkeet vun den entspriechende Dräiecke kréien mir d'Proportiounen:
wou mir definéieren:
Oraz
wou mir definéieren:
Subtractéiert d'Säite vun der Gläichheet markéiert mat Asterisken:
Béid Säite verkierzen mat x − z, kréie mir - a/b = 1, dat heescht, datt a + b = 0. Awer d'Zuelen a, b sinn d'Längt vun de Basen vum Trapezoid. Wann hir Zomm null ass, da sinn se och null. Dëst bedeit datt eng Figur wéi e Trapez net existéiere kann! A well Rechtecker, Roude a Quadrate och Trapezoiden sinn, dann, léif Lieser, ginn et och keng Roude, Rechtecker a Quadraten ...
Guess Guess
Informatioun deelen ass déi interessantst an Erausfuerderung vun de véier Basisaktivitéiten. Hei, fir d'éischte Kéier, begéine mir e Phänomen sou heefeg am Erwuessenen: "Guess d'Äntwert, a kontrolléiert dann ob Dir richteg roden." Dëst ass ganz adequat ausgedréckt vum Daniel K. Dennett ("How to Make Mistakes?", an How It Is - A Scientific Guide to the Universe, CiS, Warschau, 1997):
Dës Method vun "Gudden" stéiert net mat eisem Erwuessene Liewen - vläicht well mir et fréi léieren a roden ass net schwéier. Ideologesch geschitt datselwecht Phänomen, zum Beispill an der mathematescher (komplett) Induktioun. Op der selwechter Plaz "rieden" mir d'Formel a kucken dann ob eis Guess richteg ass. Schüler froen ëmmer: "Wéi hu mir d'Muster kennegeléiert? Wéi kann et erausgeholl ginn?" Wann d'Studente mir dës Fro stellen, maachen ech hir Fro an e Witz: "Ech weess dat well ech e Profi sinn, well ech bezuelt gi fir ze wëssen." Schüler an der Schoul kënnen am selwechte Stil geäntwert ginn, nëmme méi eescht.
Ausübung. Bedenkt datt mir Additioun a schrëftlech Multiplikatioun mat der ënneschter Eenheet ufänken, an Divisioun mat der héchster Eenheet.
Eng Kombinatioun vun zwou Iddien
Mathe-Léierpersonal hunn ëmmer drop higewisen datt dat wat mir erwuessene Trennung nennen d'Unioun vun zwou konzeptuell verschidden Iddien ass: Logement i Trennung.
Déi éischt (Logement) geschitt an Aufgaben wou den Archetyp ass:
Deelen-deelen Dëst sinn Aufgaben wéi:
? (Mir behalen den ursprénglechen Stil vun dësem Problem, aus dem Julian Zgozalewicz sengem Handbuch, deen am Joer 1892 zu Krakau publizéiert gouf - d'Zloty ass de Rhenish Złoty, d'Währung déi am éisträichesch-ungaresche Räich bis zum Ufank vum XNUMXth Joerhonnert a Circulatioun war).
Elo betruecht zwee Problemer mat dat eelst Mathematik Léierbuch op polnesch, Papp Tomasz Clos (1538). Ass et eng Divisioun oder e Coupe? Léisen et wéi d'Schoulkanner am XNUMXth Joerhonnert sollten:
(Polnesch op Polnesch Iwwersetzung: Et gëtt e Quart a véier Dëppen an engem Fass. E Pot ass véier Quarts. Een huet 20 Fässer Wäin fir 50 Zł fir den Handel kaaft. D'Steier an d'Steier (Akzisen?) wäerten 8 zł sinn. Wéi vill fir verkafen e Quart fir 8 zł ze verdéngen?)
Sport, Physik, Kongruenz
Heiansdo musst Dir am Sport eppes mat Null deelen (Goalverhältnis). Gutt, d'Riichter hunn iergendwéi mat et ëm. Wéi och ëmmer, an der abstrakter Algebra sinn se um Ordre du jour. net-null Quantitéitendeem säi Quadrat null ass. Et kann souguer einfach erkläert ginn.
Betruecht eng Funktioun F déi e Punkt (y, 0) mat engem Punkt am Fliger (x, y) assoziéiert. Wat ass F2, dat ass, eng duebel Ausféierung vun F? Null Funktioun - all Punkt huet e Bild (0,0).
Schlussendlech sinn net-null Quantitéiten, deenen hire Quadrat 0 ass, bal alldeeglech Brout fir Physiker, an Zuele vun der Form a + bε, wou ε ≠ 0, awer ε2 = 0, Mathematiker ruffen duebel Zuelen. Si kommen an der mathematescher Analyse an an der Differentialgeometrie op.
No allem gëtt et eppes an der Arithmetik, déi Divisioun duerch Null am Numm op d'mannst huet. Et kënnt aus Kongruenz. Loosst Z de Set vun ganz Zuelen bezeechnen. De Satz Z mat p deelen heescht datt mir all Zuel (Ganz Zuel) mat e puer anerer gläichstellen, nämlech zu deenen, duerch déi hiren Ënnerscheed deelbar ass. Also, wa mir fënnef Zorte vun Zuelen hunn, entspriechend den Zuelen 0, 1, 2, 3, 4 - déi méiglech Iwwerreschter wann gedeelt duerch 5. D'Formel ass esou geschriwwen:
mod wann den Ënnerscheed e Multiple ass.
Fir = 2 hu mir nëmmen zwou Zuelen: 0 an 1. Déi ganz Zuelen an zwou sou Klassen opzedeelen ass gläichwäerteg mat der Divisioun vun hinnen an souguer an komesch. Loosst eis et elo ersetzen. Den Ënnerscheed ass ëmmer deelbar mat 1 (all ganz Zuel ass deelbar mat 1). Ass et méiglech =0 ze huelen? Loosst eis probéieren: wéini ass den Ënnerscheed vun zwou Zuelen e Multiple vun Null? Nëmmen wann dës zwou Zuelen gläich sinn. Also d'Divisioun vun engem Set vun ganz Zuelen duerch Null mécht Sënn, awer et ass net interessant: näischt geschitt. Et soll awer betount ginn, datt et keng Zuelendeelung am Sënn ass, deen aus der Grondschoul bekannt ass.
Esou Aktiounen sinn einfach verbueden, wéi och laang a breet Mathematik.
Reis. 2. Identifikatioun vun Zuelen benotzt Verglach
(Modus 5 a Modus 2)
